Вклады — Задание 13 ЕГЭ по математике №00022308

Необычная постановка: сумма кредита одна и та же, а сценария погашения два. Построим модель. Обозначим $k=1+\dfrac{r}{100}$ — во столько раз долг вырастает каждый январь, и пусть $S$ — сумма кредита.

Сценарий первый: платим по $58564$ рубля и гасим кредит за 4 года. Раскручивая долг по годам (умножили на $k$ — заплатили, и так четыре раза до нуля), получаем: $Sk^4=58564(k^3+k^2+k+1)$.

Сценарий второй: платим по $106964$ рубля и гасим за 2 года: $Sk^2=106964(k+1)$.

Ключевой ход — разложить скобку первого уравнения на множители: $k^3+k^2+k+1=k^2(k+1)+(k+1)=(k+1)(k^2+1)$. Теперь поделим первое уравнение на второе — неизвестная $S$ сократится: $k^2=\dfrac{58564(k+1)(k^2+1)}{106964(k+1)}=\dfrac{58564(k^2+1)}{106964}$.

Умножаем крест-накрест: $106964k^2=58564k^2+58564$, то есть $48400k^2=58564$, откуда $k^2=\dfrac{58564}{48400}$. Извлекаем корень: $58564=242^2$, $48400=220^2$, значит $k=\dfrac{242}{220}=1{,}1$ (берём положительный корень — долг растёт). Итак, $r=10$.

Проверим. Из второго сценария $S=\dfrac{106964\cdot2{,}1}{1{,}21}=88400\cdot2{,}1=185640$. Сценарий на 4 года: $185640\cdot1{,}1=204204$, платим $58564$ — остаётся $145640$; дальше $160204-58564=101640$; затем $111804-58564=53240$; наконец $53240\cdot1{,}1=58564$ — долг закрыт ровно четвёртым платежом. Сценарий на 2 года: $185640\cdot1{,}1=204204$, минус $106964$ — остаётся $97240$; затем $97240\cdot1{,}1=106964$ — второй платёж гасит долг. Всё сходится.