Вклады — Задание 16 ЕГЭ по математике №00022307

№2. Задание 16

ID: 00022307

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы: • 1-го числа каждого месяца долг возрастает на

r\%

по сравнению с концом предыдущего месяца; • со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга; • 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; • к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен. Чему равно

$r$

, если общая сумма платежей в 2027 году составит 4830 тыс. рублей?

Источник: ФИПИ

Решение

Ищем ставку в дифференцированной схеме. Модель: кредит $$9$$ млн на $$36$$ месяцев, ежемесячное погашение тела $$9 : 36 = 0{,}25$$ млн. Долги на 15-е числа: $$9$$ ; $$8{,}75$$ ; $$8{,}5$$ ; $\dots$ ; $$0{,}25$$ ; $$0$$ .

Платёж месяца: долг $$d$$ после начисления $r\%$ становится $d\left(1 + \dfrac{r}{100}\right)$ , а опуститься должен до $$d - 0{,}25$$ . Значит, платёж равен $0{,}25 + \dfrac{r}{100} \cdot d$ .

2027 год — это первые $$12$$ платежей. Проценты в эти месяцы начисляются на долги $$9$$ ; $$8{,}75$$ ; $\dots$ ; $9 - 11 \cdot 0{,}25 = 6{,}25$ .

Сумма платежей за 2027 год. Тело: $12 \cdot 0{,}25 = 3$ млн. Сумма долгов: $\dfrac{9 + 6{,}25}{2} \cdot 12 = 7{,}625 \cdot 12 = 91{,}5$ . Проценты: $\dfrac{r}{100} \cdot 91{,}5 = 0{,}915r$ млн. Всего: $$3 + 0{,}915r$$ .

По условию это $$4830$$ тыс. рублей, то есть $$4{,}83$$ млн: $$3 + 0{,}915r = 4{,}83$$ , откуда $$0{,}915r = 1{,}83$$ и $$r = 2$$ . Проверим: при $$r = 2$$ проценты равны $0{,}02 \cdot 91{,}5 = 1{,}83$ млн, вместе с телом $$3$$ млн — ровно $$4{,}83$$ млн, всё сходится.

Ответ

2 %

Другие задания по теме «Вклады» (8)