Вклады

Задание №13. Экономические задачи

№2. Задание 13

ID: 00022306

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 12 млн рублей на 48 месяцев. Условия его возврата таковы: • 1-го числа каждого месяца долг возрастает на

r\%

по сравнению с концом предыдущего месяца; • со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга; • 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; • к 15 декабря 2030 года кредит должен быть полностью погашен. Чему равно

$r$

, если общая сумма платежей в 2030 году составит 3195 тыс. рублей?

Источник: ФИПИ

Решение

Дифференцированная схема, но теперь неизвестна ставка. Модель: кредит $$12$$ млн на $$48$$ месяцев, ежемесячное погашение тела $$12 : 48 = 0{,}25$$ млн. Долги на 15-е числа: $$12$$ ; $$11{,}75$$ ; $\dots$ ; $$0{,}25$$ ; $$0$$ .

Платёж месяца: если долг был $$d$$ , то после начисления $r\%$ он равен $d\left(1 + \dfrac{r}{100}\right)$ , а стать должен $$d - 0{,}25$$ . Значит, платёж равен $0{,}25 + \dfrac{r}{100} \cdot d$ .

2030 год — это последние $$12$$ платежей, с 37-го по 48-й. К январю 2030 года сделано $$36$$ погашений: долг равен $12 - 36 \cdot 0{,}25 = 3$ млн. Проценты в 2030-м начисляются на долги $$3$$ ; $$2{,}75$$ ; $\dots$ ; $$0{,}25$$ .

Сумма платежей за 2030 год. Тело: $12 \cdot 0{,}25 = 3$ млн. Сумма долгов: $\dfrac{3 + 0{,}25}{2} \cdot 12 = 19{,}5$ . Проценты: $\dfrac{r}{100} \cdot 19{,}5 = 0{,}195r$ млн. Всего: $$3 + 0{,}195r$$ .

По условию это $$3195$$ тыс. рублей, то есть $$3{,}195$$ млн: $$3 + 0{,}195r = 3{,}195$$ , откуда $$0{,}195r = 0{,}195$$ и $$r = 1$$ . Проверим: при $$r = 1$$ проценты за 2030 год равны $0{,}01 \cdot 19{,}5 = 0{,}195$ млн, и вместе с телом $$3$$ млн получаем ровно $$3{,}195$$ млн — всё сходится.

Ответ

Другие задания по теме «Вклады» (8)