Вклады — Задание 13 ЕГЭ по математике №00022305

Снова дифференцированная схема. Модель: кредит $A$ млн на $60$ месяцев, значит, каждый месяц долг на 15-е число падает на $\dfrac{A}{60}$ млн, и долги образуют лесенку $A$; $\dfrac{59A}{60}$; $\dfrac{58A}{60}$; $\dots$; $\dfrac{A}{60}$; $0$.

Платёж месяца: если долг был $d$, то после начисления $2\%$ он равен $1{,}02d$, а стать должен $d - \dfrac{A}{60}$. Отсюда платёж равен $\dfrac{A}{60} + 0{,}02d$.

2027 год — это первые $12$ платежей. Проценты в эти месяцы начисляются на долги $A$; $\dfrac{59A}{60}$; $\dots$; $\dfrac{49A}{60}$.

Сумма платежей за 2027 год. Тело: $12 \cdot \dfrac{A}{60} = \dfrac{A}{5} = 0{,}2A$. Сумма долгов: $\dfrac{A}{60}(60 + 59 + \dots + 49) = \dfrac{A}{60} \cdot \dfrac{60 + 49}{2} \cdot 12 = \dfrac{A}{60} \cdot 654 = 10{,}9A$. Проценты: $0{,}02 \cdot 10{,}9A = 0{,}218A$. Всего: $0{,}2A + 0{,}218A = 0{,}418A$.

По условию это $2508$ тыс. рублей, то есть $2{,}508$ млн: $0{,}418A = 2{,}508$, откуда $A = \dfrac{2{,}508}{0{,}418} = 6$. Проверим: $0{,}418 \cdot 6 = 2{,}508$ — сходится. Кредит равен $6$ млн рублей.