Вклады — Задание 13 ЕГЭ по математике №00022304

Дифференцированная схема: долг на 15-е число каждый месяц уменьшается на одну и ту же величину. Строим модель. Кредит $A$ млн на $24$ месяца — значит, ежемесячное погашение «тела» равно $\dfrac{A}{24}$ млн, а долги на 15-е числа образуют лесенку: $A$; $A - \dfrac{A}{24}$; $\dots$; $\dfrac{A}{24}$; $0$.

Платёж месяца: если долг был $d$, то после начисления $3\%$ он равен $1{,}03d$, а опуститься должен до $d - \dfrac{A}{24}$. Значит, платёж равен $\dfrac{A}{24} + 0{,}03d$ — постоянное тело плюс проценты на текущий долг.

2028 год — это платежи с 13-го по 24-й. К январю 2028 года сделано $12$ погашений, то есть выплачена ровно половина тела: долг равен $A - 12 \cdot \dfrac{A}{24} = \dfrac{A}{2}$. Проценты в 2028 году начисляются на долги $\dfrac{12A}{24}$; $\dfrac{11A}{24}$; $\dots$; $\dfrac{A}{24}$.

Сумма платежей за 2028 год. Тело: $12 \cdot \dfrac{A}{24} = \dfrac{A}{2} = 0{,}5A$. Сумма долгов: $\dfrac{A}{24}(12 + 11 + \dots + 1) = \dfrac{A}{24} \cdot 78 = \dfrac{13A}{4}$. Проценты: $0{,}03 \cdot \dfrac{13A}{4} = 0{,}0975A$. Всего: $0{,}5A + 0{,}0975A = 0{,}5975A$.

По условию сумма платежей в 2028 году равна $17\,925$ тыс. рублей, то есть $17{,}925$ млн: $0{,}5975A = 17{,}925$, откуда $A = \dfrac{17{,}925}{0{,}5975} = 30$. Проверим: $0{,}5975 \cdot 30 = 17{,}925$ — точно. Итак, кредит равен $30$ млн рублей.