Вклады — Задание 13 ЕГЭ по математике №00022303

Перед нами кредит с дифференцированными платежами: долг на 15-е число каждого месяца уменьшается на одну и ту же величину. Строим модель. Кредит $18$ млн рублей гасим за $72$ месяца — значит, каждый месяц долг падает на $18 : 72 = 0{,}25$ млн рублей. Долги на 15-е числа: $18$; $17{,}75$; $17{,}5$; $\dots$ — арифметическая прогрессия с разностью $-0{,}25$.

Из чего состоит платёж месяца? Если на 15-е число прошлого месяца долг был $d$ млн, то 1-го числа банк начисляет $1\%$, и долг превращается в $1{,}01d$. После нашего платежа $X$ долг должен стать $d - 0{,}25$. Значит, $X = 1{,}01d - (d - 0{,}25) = 0{,}25 + 0{,}01d$: постоянное «тело» $0{,}25$ млн плюс $1\%$ от текущего долга.

2027 год — это первые $12$ платежей, с января по декабрь 2027-го. Проценты в эти месяцы начисляются на долги $18$; $17{,}75$; $\dots$; $18 - 11 \cdot 0{,}25 = 15{,}25$.

Считаем сумму платежей за 2027 год. Тело: $12 \cdot 0{,}25 = 3$ млн. Сумма долгов — прогрессия из $12$ членов: $\dfrac{18 + 15{,}25}{2} \cdot 12 = 16{,}625 \cdot 12 = 199{,}5$. Проценты: $0{,}01 \cdot 199{,}5 = 1{,}995$ млн.

Итого: $3 + 1{,}995 = 4{,}995$ млн рублей, то есть $4\,995\,000$ рублей. Быстрая проверка: после 12-го платежа долг равен $18 - 12 \cdot 0{,}25 = 15$ млн, а впереди ещё $60$ месяцев по $0{,}25$ млн — ровно $15$ млн, всё сходится.