Вклады — Задание 13 ЕГЭ по математике №00022302

Это кредит с дифференцированными платежами: по условию долг на 15-е число каждого месяца уменьшается на одну и ту же величину. Строим модель. Взяли $27$ млн рублей и гасим за $36$ месяцев — значит, каждый месяц долг должен уменьшаться на $27 : 36 = 0{,}75$ млн рублей. Долги на 15-е числа выстраиваются в «лесенку»: $27$; $26{,}25$; $25{,}5$; $\dots$; $0{,}75$; $0$ — это арифметическая прогрессия с разностью $-0{,}75$.

Теперь разберёмся, из чего состоит платёж. Пусть на 15-е число прошлого месяца долг был $d$ млн. 1-го числа банк начисляет $3\%$, и долг становится $1{,}03d$. Мы вносим платёж $X$, после чего долг должен равняться $d - 0{,}75$. Отсюда $X = 1{,}03d - (d - 0{,}75) = 0{,}75 + 0{,}03d$. То есть каждый платёж — это постоянные $0{,}75$ млн «тела» кредита плюс $3\%$ от долга, на который в этом месяце начислили проценты.

Нас спрашивают про 2029 год — это последние $12$ платежей, с января по декабрь (платежи с $25$-го по $36$-й). К январю 2029 года сделано $24$ погашения, долг стал $27 - 24 \cdot 0{,}75 = 9$ млн. Значит, в течение 2029 года проценты начисляются на долги $9$; $8{,}25$; $7{,}5$; $\dots$; $0{,}75$.

Считаем сумму платежей за 2029 год. Тело кредита: $12 \cdot 0{,}75 = 9$ млн. Сумма долгов — арифметическая прогрессия из $12$ членов: $\dfrac{9 + 0{,}75}{2} \cdot 12 = 58{,}5$. Проценты: $0{,}03 \cdot 58{,}5 = 1{,}755$ млн.

Итого за 2029 год: $9 + 1{,}755 = 10{,}755$ млн рублей, то есть $10\,755\,000$ рублей. Проверим: долг $9$ млн за $12$ шагов по $0{,}75$ уходит ровно в ноль к 15 декабря 2029 года — всё сходится.