ID: 00022300
Источник: ФИПИ
Разберём дробь по косточкам: сверху — многочлен, который раскладывается группировкой, снизу — показательная конструкция, которая сворачивается в квадрат.
Числитель: $x^3+x^2-x-1=x^2(x+1)-(x+1)=(x+1)\left(x^2-1\right)=(x+1)^2(x-1)$.
Знаменатель: обозначим $u=2^{x^2}$, тогда $4^{x^2}=u^2$, и внизу стоит $u^2-8u+16=(u-4)^2=\left(2^{x^2}-4\right)^2$. Квадрат! Он неотрицателен и равен нулю, когда $2^{x^2}=4=2^2$, то есть $x^2=2$, $x=\pm\sqrt{2}$.
Значит, при $x\ne\pm\sqrt{2}$ знаменатель строго положителен, и знак дроби диктует числитель: нужно $(x+1)^2(x-1)\ge 0$. Квадрат $(x+1)^2$ знак не портит, но даёт ноль при $x=-1$ — а ноль нас устраивает, неравенство нестрогое! Поэтому по числителю получаем: изолированную точку $x=-1$ и луч $x\ge 1$.
Осталось выколоть нули знаменателя: $-\sqrt{2}\approx -1{,}41$ в наше множество и так не входит, а вот $\sqrt{2}\approx 1{,}41$ лежит внутри луча $[1;+\infty)$ — её выкалываем обязательно.
Проверка. $x=-1$: числитель $0$, знаменатель $\left(2^1-4\right)^2=4\ne 0$, дробь равна нулю — верно, точка в ответе. $x=0$: числитель $1^2\cdot(-1)=-1<0$ — неравенство не выполнено, и в ответе этой точки нет. $x=2$: числитель $9\cdot 1=9>0$, знаменатель $\left(2^4-4\right)^2=144>0$ — верно. Всё сходится.