Разберём дробь по косточкам: сверху — многочлен, который раскладывается группировкой, снизу — показательная конструкция, которая сворачивается в квадрат.

Числитель: x^3+x^2-x-1=x^2(x+1)-(x+1)=(x+1)\left(x^2-1\right)=(x+1)^2(x-1).

Знаменатель: обозначим u=2^{x^2}, тогда 4^{x^2}=u^2, и внизу стоит u^2-8u+16=(u-4)^2=\left(2^{x^2}-4\right)^2. Квадрат! Он неотрицателен и равен нулю, когда 2^{x^2}=4=2^2, то есть x^2=2, x=\pm\sqrt{2}.

Значит, при x\ne\pm\sqrt{2} знаменатель строго положителен, и знак дроби диктует числитель: нужно (x+1)^2(x-1)\ge 0. Квадрат (x+1)^2 знак не портит, но даёт ноль при x=-1 — а ноль нас устраивает, неравенство нестрогое! Поэтому по числителю получаем: изолированную точку x=-1 и луч x\ge 1.

Осталось выколоть нули знаменателя: -\sqrt{2}\approx -1{,}41 в наше множество и так не входит, а вот \sqrt{2}\approx 1{,}41 лежит внутри луча [1;+\infty) — её выкалываем обязательно.

Проверка. x=-1: числитель 0, знаменатель \left(2^1-4\right)^2=4\ne 0, дробь равна нулю — верно, точка в ответе. x=0: числитель 1^2\cdot(-1)=-1<0 — неравенство не выполнено, и в ответе этой точки нет. x=2: числитель 9\cdot 1=9>0, знаменатель \left(2^4-4\right)^2=144>0 — верно. Всё сходится.

Ответ: \{-1\}\cup[1;\sqrt{2})\cup(\sqrt{2};+\infty).