Неравенства,… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00022298

Числитель и знаменатель здесь — «замаскированные» формулы сокращённого умножения, и вся задача решается в три хода, если их разглядеть.

Начнём с числителя. Обозначим $t=3^x$, тогда $27^x=t^3$, $9^{x+1}=9\cdot 9^x=9t^2$, $3^{x+3}=27\cdot 3^x=27t$. Числитель превращается в $t^3-9t^2+27t-27$. Узнаёшь куб разности? $t^3-3\cdot t^2\cdot 3+3\cdot t\cdot 3^2-3^3=(t-3)^3$. Итак, сверху стоит $\left(3^x-3\right)^3$.

Теперь знаменатель: $50x^2-110x+60{,}5$. Домножим мысленно на $2$: $100x^2-220x+121=(10x-11)^2$. Значит, знаменатель равен $\dfrac{(10x-11)^2}{2}$ — это неотрицательное выражение, которое обращается в ноль только при $x=1{,}1$.

Собираем: при $x\ne 1{,}1$ знаменатель строго положителен и на знак дроби не влияет. Куб знака не меняет: знак $\left(3^x-3\right)^3$ — это знак $3^x-3$. А $3^x\ge 3$ ровно тогда, когда $x\ge 1$, ведь показательная функция с основанием $3>1$ возрастает.

Итого: $x\ge 1$ и $x\ne 1{,}1$. Разберёмся с концами. При $x=1$ числитель $(3-3)^3=0$, а знаменатель $50-110+60{,}5=0{,}5\ne 0$ — дробь равна нулю, нестрогое неравенство выполнено, точку берём. При $x=1{,}1$ знаменатель нулевой — дробь не существует, точку выкалываем. Контроль по точке $x=2$: числитель $(9-3)^3=216>0$, знаменатель $200-220+60{,}5=40{,}5>0$ — неравенство верно. Всё сходится.