Замена напрашивается сама: t=\log_2 x. ОДЗ: x>0, и кроме того t\ne 0, то есть x\ne 1 — иначе делим на ноль. Переписываем каждый кусок: \log_2\dfrac{4}{x}=\log_2 4-\log_2 x=2-t, а \log_2 x^2=2\log_2 x=2t (при x>0 это законно).

Неравенство: \dfrac{4}{t}-(2-t)\le\dfrac{38}{2t}, то есть \dfrac{4}{t}-2+t\le\dfrac{19}{t}. Переносим всё влево: t-2+\dfrac{4-19}{t}\le 0, значит t-2-\dfrac{15}{t}\le 0.

Приводим к одной дроби: \dfrac{t^2-2t-15}{t}\le 0. Числитель раскладывается: t^2-2t-15=(t-5)(t+3). Итого \dfrac{(t-5)(t+3)}{t}\le 0.

Метод интервалов по t: отмечаем точки -3, 0, 5; корни числителя закрашены (неравенство нестрогое), а t=0 выколота. Знаки слева направо: минус, плюс, минус, плюс. Подходят t\le -3 и 0</p><p>Возвращаемся кx=2^t:t\le -3даёт0

Проверим концы. При x=32 (t=5): слева \dfrac{4}{5}-\log_2\dfrac{4}{32}=\dfrac{4}{5}+3=\dfrac{19}{5}, справа \dfrac{38}{10}=\dfrac{19}{5} — равенство, конец входит. При x=\dfrac{1}{8} (t=-3): слева -\dfrac{4}{3}-\log_2 32=-\dfrac{4}{3}-5=-\dfrac{19}{3}, справа \dfrac{38}{-6}=-\dfrac{19}{3} — тоже равенство. А x=1 не входит: там \log_2 x=0 в знаменателе. Всё сходится.