Неравенства,… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00022296

Замена напрашивается сама: $t=\log_2 x$. ОДЗ: $x>0$, и кроме того $t\ne 0$, то есть $x\ne 1$ — иначе делим на ноль. Переписываем каждый кусок: $\log_2\dfrac{4}{x}=\log_2 4-\log_2 x=2-t$, а $\log_2 x^2=2\log_2 x=2t$ (при $x>0$ это законно).

Неравенство: $\dfrac{4}{t}-(2-t)\le\dfrac{38}{2t}$, то есть $\dfrac{4}{t}-2+t\le\dfrac{19}{t}$. Переносим всё влево: $t-2+\dfrac{4-19}{t}\le 0$, значит $t-2-\dfrac{15}{t}\le 0$.

Приводим к одной дроби: $\dfrac{t^2-2t-15}{t}\le 0$. Числитель раскладывается: $t^2-2t-15=(t-5)(t+3)$. Итого $\dfrac{(t-5)(t+3)}{t}\le 0$.

Метод интервалов по $t$: отмечаем точки $-3$, $0$, $5$; корни числителя закрашены (неравенство нестрогое), а $t=0$ выколота. Знаки слева направо: минус, плюс, минус, плюс. Подходят $t\le -3$ и $0</p><p>Возвращаемся к$x=2^t$:$t\le -3$даёт$0

Проверим концы. При $x=32$ ($t=5$): слева $\dfrac{4}{5}-\log_2\dfrac{4}{32}=\dfrac{4}{5}+3=\dfrac{19}{5}$, справа $\dfrac{38}{10}=\dfrac{19}{5}$ — равенство, конец входит. При $x=\dfrac{1}{8}$ ($t=-3$): слева $-\dfrac{4}{3}-\log_2 32=-\dfrac{4}{3}-5=-\dfrac{19}{3}$, справа $\dfrac{38}{-6}=-\dfrac{19}{3}$ — тоже равенство. А $x=1$ не входит: там $\log_2 x=0$ в знаменателе. Всё сходится.