Все логарифмы по основанию 4 — просится замена t=\log_4 x. Тогда \log_4(64x)=\log_4 64+\log_4 x=3+t, \log_4(x^4)=4t, а \log_4^2 x-9=(t-3)(t+3) — ровно произведение двух знаменателей слева. Получаем \dfrac{t+3}{t-3}+\dfrac{t-3}{t+3}\ge\dfrac{4t+16}{(t-3)(t+3)}.

ОДЗ: x>0, t\ne 3 и t\ne -3, то есть x\ne 64 и x\ne\dfrac{1}{64}.

Переносим всё влево: \dfrac{(t+3)^2+(t-3)^2-4t-16}{(t-3)(t+3)}\ge 0. Числитель: (t^2+6t+9)+(t^2-6t+9)-4t-16=2t^2-4t+2=2(t-1)^2. Снова полный квадрат: \dfrac{2(t-1)^2}{(t-3)(t+3)}\ge 0.

Дробь неотрицательна в двух случаях: числитель равен нулю (t=1 — подходит, неравенство нестрогое) или знаменатель положителен (t<-3 или t>3).

Назад к x=4^t: t<-3 даёт 03 даёт x>64.

Проверим x=4: при t=1 слева \dfrac{4}{-2}+\dfrac{-2}{4}=-2-0{,}5=-2{,}5, справа \dfrac{4+16}{1-9}=-2{,}5 — равенство, точка входит. Концы x=\dfrac{1}{64} и x=64 не входят: там нули в знаменателях. Всё сходится.