Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00022295

Все логарифмы по основанию 4 — просится замена $t=\log_4 x$. Тогда $\log_4(64x)=\log_4 64+\log_4 x=3+t$, $\log_4(x^4)=4t$, а $\log_4^2 x-9=(t-3)(t+3)$ — ровно произведение двух знаменателей слева. Получаем $\dfrac{t+3}{t-3}+\dfrac{t-3}{t+3}\ge\dfrac{4t+16}{(t-3)(t+3)}$.

ОДЗ: $x>0$, $t\ne 3$ и $t\ne -3$, то есть $x\ne 64$ и $x\ne\dfrac{1}{64}$.

Переносим всё влево: $\dfrac{(t+3)^2+(t-3)^2-4t-16}{(t-3)(t+3)}\ge 0$. Числитель: $(t^2+6t+9)+(t^2-6t+9)-4t-16=2t^2-4t+2=2(t-1)^2$. Снова полный квадрат: $\dfrac{2(t-1)^2}{(t-3)(t+3)}\ge 0$.

Дробь неотрицательна в двух случаях: числитель равен нулю ($t=1$ — подходит, неравенство нестрогое) или знаменатель положителен ($t<-3$ или $t>3$).

Назад к $x=4^t$: $t<-3$ даёт $03$ даёт $x>64$.

Проверим $x=4$: при $t=1$ слева $\dfrac{4}{-2}+\dfrac{-2}{4}=-2-0{,}5=-2{,}5$, справа $\dfrac{4+16}{1-9}=-2{,}5$ — равенство, точка входит. Концы $x=\dfrac{1}{64}$ и $x=64$ не входят: там нули в знаменателях. Всё сходится.