ОДЗ из трёх условий. Первое: \dfrac{2}{x}+2>0, то есть \dfrac{2(x+1)}{x}>0, откуда x<-1 или x>0. Второе: x+3>0, то есть x>-3. Третье: \dfrac{x+6}{x^2}>0, то есть x>-6 и x\ne 0. Пересекаем: (-3;\,-1)\cup(0;\,+\infty).

Сворачиваем левую часть в один логарифм: \log_5\dfrac{2(x+1)}{x(x+3)}\le\log_5\dfrac{x+6}{x^2}. Основание 5>1, логарифм возрастает — переходим к аргументам: \dfrac{2(x+1)}{x(x+3)}\le\dfrac{x+6}{x^2}.

Не умножаем на знаменатели вслепую — переносим всё влево и приводим к общему знаменателю x^2(x+3): \dfrac{2x(x+1)-(x+6)(x+3)}{x^2(x+3)}\le 0. Числитель: 2x^2+2x-\left(x^2+9x+18\right)=x^2-7x-18=(x-9)(x+2).

Смотрим на знаменатель: на ОДЗ всегда x>-3, значит x+3>0, а x^2>0 — знаменатель положителен. Знак дроби задаёт числитель: (x-9)(x+2)\le 0, откуда -2\le x\le 9.

Пересекаем с ОДЗ (-3;\,-1)\cup(0;\,+\infty): получаем [-2;\,-1)\cup(0;\,9]. Проверка граничных точек. x=-2: слева \log_5\left(-1+2\right)-\log_5 1=0-0=0, справа \log_5\dfrac{4}{4}=0, и 0\le 0 — верно. x=9: слева \log_5\dfrac{20}{9}-\log_5 12=\log_5\dfrac{20}{108}=\log_5\dfrac{5}{27}, справа \log_5\dfrac{15}{81}=\log_5\dfrac{5}{27} — равенство. Всё сходится.