ID: 00022293
Источник: ФИПИ
ОДЗ из трёх условий. Первое: $\dfrac{2}{x}+2>0$, то есть $\dfrac{2(x+1)}{x}>0$, откуда $x<-1$ или $x>0$. Второе: $x+3>0$, то есть $x>-3$. Третье: $\dfrac{x+6}{x^2}>0$, то есть $x>-6$ и $x\ne 0$. Пересекаем: $(-3;\,-1)\cup(0;\,+\infty)$.
Сворачиваем левую часть в один логарифм: $\log_5\dfrac{2(x+1)}{x(x+3)}\le\log_5\dfrac{x+6}{x^2}$. Основание $5>1$, логарифм возрастает — переходим к аргументам: $\dfrac{2(x+1)}{x(x+3)}\le\dfrac{x+6}{x^2}$.
Не умножаем на знаменатели вслепую — переносим всё влево и приводим к общему знаменателю $x^2(x+3)$: $\dfrac{2x(x+1)-(x+6)(x+3)}{x^2(x+3)}\le 0$. Числитель: $2x^2+2x-\left(x^2+9x+18\right)=x^2-7x-18=(x-9)(x+2)$.
Смотрим на знаменатель: на ОДЗ всегда $x>-3$, значит $x+3>0$, а $x^2>0$ — знаменатель положителен. Знак дроби задаёт числитель: $(x-9)(x+2)\le 0$, откуда $-2\le x\le 9$.
Пересекаем с ОДЗ $(-3;\,-1)\cup(0;\,+\infty)$: получаем $[-2;\,-1)\cup(0;\,9]$. Проверка граничных точек. $x=-2$: слева $\log_5\left(-1+2\right)-\log_5 1=0-0=0$, справа $\log_5\dfrac{4}{4}=0$, и $0\le 0$ — верно. $x=9$: слева $\log_5\dfrac{20}{9}-\log_5 12=\log_5\dfrac{20}{108}=\log_5\dfrac{5}{27}$, справа $\log_5\dfrac{15}{81}=\log_5\dfrac{5}{27}$ — равенство. Всё сходится.