ОДЗ. Первое: 3x+1>0, то есть x>-\dfrac{1}{3}. Второе: \dfrac{1}{72x^2}+1>0 — верно при любом x\ne 0, ведь оба слагаемых положительны. Третье: \dfrac{1}{24x}+1>0, то есть \dfrac{24x+1}{24x}>0, откуда x<-\dfrac{1}{24} или x>0. Пересекаем: \left(-\dfrac{1}{3};\,-\dfrac{1}{24}\right)\cup(0;\,+\infty).

Сумма логарифмов слева — логарифм произведения: \log_5\left[(3x+1)\cdot\dfrac{72x^2+1}{72x^2}\right]\ge\log_5\dfrac{24x+1}{24x}. Основание 5>1, переходим к аргументам с тем же знаком: (3x+1)\cdot\dfrac{72x^2+1}{72x^2}\ge\dfrac{24x+1}{24x}.

Умножим обе части на 72x^2>0 — знак неравенства не меняется, а справа \dfrac{72x^2}{24x}=3x: получаем (3x+1)\left(72x^2+1\right)\ge 3x(24x+1). Раскрываем: слева 216x^3+3x+72x^2+1, справа 72x^2+3x. Всё лишнее взаимно уничтожается, и остаётся 216x^3+1\ge 0 — редкая красота.

Дальше просто: x^3\ge-\dfrac{1}{216}, а кубическая функция возрастает на всей прямой, поэтому x\ge\sqrt[3]{-\dfrac{1}{216}}=-\dfrac{1}{6}.

Пересекаем с ОДЗ \left(-\dfrac{1}{3};\,-\dfrac{1}{24}\right)\cup(0;\,+\infty): получаем \left[-\dfrac{1}{6};\,-\dfrac{1}{24}\right)\cup(0;\,+\infty). Проверка граничной точки x=-\dfrac{1}{6}: тут 3x+1=\dfrac{1}{2}, 72x^2=2, значит слева \dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{2}+1\right)=\dfrac{3}{4}; справа \dfrac{1}{-4}+1=\dfrac{3}{4} — равенство, точка входит. Всё сходится.