ID: 00022292
Источник: ФИПИ
ОДЗ. Первое: $3x+1>0$, то есть $x>-\dfrac{1}{3}$. Второе: $\dfrac{1}{72x^2}+1>0$ — верно при любом $x\ne 0$, ведь оба слагаемых положительны. Третье: $\dfrac{1}{24x}+1>0$, то есть $\dfrac{24x+1}{24x}>0$, откуда $x<-\dfrac{1}{24}$ или $x>0$. Пересекаем: $\left(-\dfrac{1}{3};\,-\dfrac{1}{24}\right)\cup(0;\,+\infty)$.
Сумма логарифмов слева — логарифм произведения: $\log_5\left[(3x+1)\cdot\dfrac{72x^2+1}{72x^2}\right]\ge\log_5\dfrac{24x+1}{24x}$. Основание $5>1$, переходим к аргументам с тем же знаком: $(3x+1)\cdot\dfrac{72x^2+1}{72x^2}\ge\dfrac{24x+1}{24x}$.
Умножим обе части на $72x^2>0$ — знак неравенства не меняется, а справа $\dfrac{72x^2}{24x}=3x$: получаем $(3x+1)\left(72x^2+1\right)\ge 3x(24x+1)$. Раскрываем: слева $216x^3+3x+72x^2+1$, справа $72x^2+3x$. Всё лишнее взаимно уничтожается, и остаётся $216x^3+1\ge 0$ — редкая красота.
Дальше просто: $x^3\ge-\dfrac{1}{216}$, а кубическая функция возрастает на всей прямой, поэтому $x\ge\sqrt[3]{-\dfrac{1}{216}}=-\dfrac{1}{6}$.
Пересекаем с ОДЗ $\left(-\dfrac{1}{3};\,-\dfrac{1}{24}\right)\cup(0;\,+\infty)$: получаем $\left[-\dfrac{1}{6};\,-\dfrac{1}{24}\right)\cup(0;\,+\infty)$. Проверка граничной точки $x=-\dfrac{1}{6}$: тут $3x+1=\dfrac{1}{2}$, $72x^2=2$, значит слева $\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{2}+1\right)=\dfrac{3}{4}$; справа $\dfrac{1}{-4}+1=\dfrac{3}{4}$ — равенство, точка входит. Всё сходится.