Начнём с ОДЗ. Нужно: 4x^2-1>0, x>0 и 5x+\dfrac{9}{x}-11>0. Первые два условия вместе дают x>\dfrac{1}{2} (при x>0 из 4x^2>1 следует x>\dfrac{1}{2}). С третьим разберёмся честно: 5x+\dfrac{9}{x}-11=\dfrac{5x^2-11x+9}{x}, а у числителя дискриминант D=121-180=-59<0 — при x>0 эта дробь всегда положительна, так что третье условие ничего не отрезает. Итого ОДЗ: x>\dfrac{1}{2}.

Собираем левую часть в один логарифм: \log_2\dfrac{4x^2-1}{x}\le\log_2\left(5x+\dfrac{9}{x}-11\right). Основание 2>1, логарифм возрастает — переходим к аргументам, сохраняя знак: \dfrac{4x^2-1}{x}\le\dfrac{5x^2-11x+9}{x}.

Умножаем обе части на x>0 (знак не меняется): 4x^2-1\le 5x^2-11x+9. Переносим всё вправо: 0\le x^2-11x+10, то есть (x-1)(x-10)\ge 0, откуда x\le 1 или x\ge 10.

Пересекаем с ОДЗ x>\dfrac{1}{2}: получаем \left(\dfrac{1}{2};\,1\right]\cup[10;\,+\infty). Проверим граничную точку x=1: слева \log_2 3-\log_2 1=\log_2 3, справа \log_2(5+9-11)=\log_2 3 — равенство, точка входит. И x=10: слева \log_2 399-\log_2 10=\log_2 39{,}9, справа \log_2\left(50+0{,}9-11\right)=\log_2 39{,}9 — снова равенство. Всё сходится.