ID: 00022289
Источник: ФИПИ
Начнём с ОДЗ. Нужно: $4x^2-1>0$, $x>0$ и $5x+\dfrac{9}{x}-11>0$. Первые два условия вместе дают $x>\dfrac{1}{2}$ (при $x>0$ из $4x^2>1$ следует $x>\dfrac{1}{2}$). С третьим разберёмся честно: $5x+\dfrac{9}{x}-11=\dfrac{5x^2-11x+9}{x}$, а у числителя дискриминант $D=121-180=-59<0$ — при $x>0$ эта дробь всегда положительна, так что третье условие ничего не отрезает. Итого ОДЗ: $x>\dfrac{1}{2}$.
Собираем левую часть в один логарифм: $\log_2\dfrac{4x^2-1}{x}\le\log_2\left(5x+\dfrac{9}{x}-11\right)$. Основание $2>1$, логарифм возрастает — переходим к аргументам, сохраняя знак: $\dfrac{4x^2-1}{x}\le\dfrac{5x^2-11x+9}{x}$.
Умножаем обе части на $x>0$ (знак не меняется): $4x^2-1\le 5x^2-11x+9$. Переносим всё вправо: $0\le x^2-11x+10$, то есть $(x-1)(x-10)\ge 0$, откуда $x\le 1$ или $x\ge 10$.
Пересекаем с ОДЗ $x>\dfrac{1}{2}$: получаем $\left(\dfrac{1}{2};\,1\right]\cup[10;\,+\infty)$. Проверим граничную точку $x=1$: слева $\log_2 3-\log_2 1=\log_2 3$, справа $\log_2(5+9-11)=\log_2 3$ — равенство, точка входит. И $x=10$: слева $\log_2 399-\log_2 10=\log_2 39{,}9$, справа $\log_2\left(50+0{,}9-11\right)=\log_2 39{,}9$ — снова равенство. Всё сходится.