Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00022288

Логарифм здесь встречается только в одном сочетании — $\log_{3}\left(25-x^{2}\right)$, причём один раз в квадрате и один раз сам по себе. Это верный знак, что перед нами замаскированное квадратное неравенство: достаточно обозначить этот логарифм одной буквой.

Сначала область допустимых значений — те $x$, при которых выражение вообще имеет смысл. Логарифм существует только от положительного числа, поэтому нужно $25-x^{2}\gt 0$, то есть $x^{2}\lt 25$, а значит $-5\lt x\lt 5$. Дальше все найденные промежутки придётся пересечь именно с этим условием.

Делаем замену переменной: пусть $t=\log_{3}\left(25-x^{2}\right)$. Неравенство принимает вид

$$t^{2}-3t+2\geqslant 0.$$

Квадратный трёхчлен раскладывается на множители: корни уравнения $t^{2}-3t+2=0$ равны $t=1$ и $t=2$ (их сумма $3$, произведение $2$), поэтому $t^{2}-3t+2=(t-1)(t-2)$. Ветви параболы направлены вверх, значит выражение неотрицательно вне промежутка между корнями: $t\leqslant 1$ или $t\geqslant 2$.

Возвращаемся к $x$. Основание логарифма $3\gt 1$, поэтому логарифм — возрастающая функция, и знаки неравенств при переходе к аргументам сохраняются.

Первый случай: $\log_{3}\left(25-x^{2}\right)\leqslant 1=\log_{3}3$, то есть $25-x^{2}\leqslant 3$. Отсюда $x^{2}\geqslant 22$, значит $x\leqslant -\sqrt{22}$ или $x\geqslant \sqrt{22}$.

Второй случай: $\log_{3}\left(25-x^{2}\right)\geqslant 2=\log_{3}9$, то есть $25-x^{2}\geqslant 9$. Отсюда $x^{2}\leqslant 16$, значит $-4\leqslant x\leqslant 4$.

Собираем ответ. Два случая объединяются (подходит любой из них), а затем всё вместе пересекается с областью определения $(-5;5)$. Так как $\sqrt{22}\approx 4{,}69$ и это меньше $5$, кусок $x\geqslant \sqrt{22}$ обрезается справа пятёркой и даёт $\left[\sqrt{22};5\right)$; симметрично слева получаем $\left(-5;-\sqrt{22}\,\right]$. Отрезок $[-4;4]$ целиком лежит внутри $(-5;5)$ и остаётся как есть. Точки $\pm 5$ выколоты, потому что в них логарифма не существует.

Проверим себя на $x=0$: тогда $25-x^{2}=25$, $\log_{3}25\approx 2{,}93\geqslant 2$ — условие выполнено, и точка $0$ действительно попала в отрезок $[-4;4]$.