Решите неравенство log по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка 25 минус x в квадрате правая круглая скобка минус 3 log по основанию 3 левая круглая скобка 25 минус x в квадрате правая круглая скобка плюс 2 больше или равно 0 .

левая круглая скобка минус 5; минус корень из: начало аргумента: 22 конец аргумента правая квадратная скобка объединение левая квадратная скобка минус 4; 4 правая квадратная скобка объединение левая квадратная скобка корень из: начало аргумента: 22 конец аргумента ; 5 правая круглая скобка

Задание 15 ЕГЭ по математике: Решите неравенство log по основанию 3 в квадрате левая круглая…

№2. Задание 15

ID: 00022288

Решите неравенство

\log_3^2\left(25-x^2\right)-3\log_3\left(25-x^2\right)+2\ge 0

Источник: ЕГЭ ФИПИ+аналоги (Адиль)

Решение

ОДЗ: $25-x^2>0$ , то есть $-5Замена$ t=\log_3\left(25-x^2\right) $:$ t^2-3t+2\ge 0 $. Корни по Виету:$ 1 $и$ 2 $, значит$ (t-1)(t-2)\ge 0 $, откуда$ t\le 1 $или$ t\ge 2 $.Случай$ t\le 1 $:$ \log_3\left(25-x^2\right)\le 1 $, логарифм по основанию$ 3>1 $возрастает, поэтому$ 25-x^2\le 3 $. Переносим:$ x^2\ge 22 $, то есть$ x\le-\sqrt{22} $или$ x\ge\sqrt{22} $. Пересекаем с ОДЗ$ (-5;\,5) $, помня, что$ \sqrt{22}\approx 4{,}69<5 $: остаётся$ \left(-5;\,-\sqrt{22}\right]\cup\left[\sqrt{22};\,5\right) $.Случай$ t\ge 2 $:$ 25-x^2\ge 3^2=9 $, то есть$ x^2\le 16 $, откуда$ -4\le x\le 4 $— этот отрезок целиком лежит в ОДЗ.Объединяем:$ \left(-5;\,-\sqrt{22}\right]\cup[-4;\,4]\cup\left[\sqrt{22};\,5\right) $. Проверка границ: при$ x=4 $будет$ 25-16=9 $,$ t=2 $, и$ 4-6+2=0\ge 0 $— входит; при$ x=\sqrt{22} $будет$ 25-22=3 $,$ t=1 $, и$ 1-3+2=0 $— входит. Точки$ \pm 5$ выколоты ОДЗ. Всё сходится.

Ответ

\left(-5;\,-\sqrt{22}\right]\cup[-4;\,4]\cup\left[\sqrt{22};\,5\right)