ID: 00022287
Источник: ФИПИ
Присмотримся к неравенству: логарифм $\log_{2}(25-x^{2})$ встречается в нём дважды — сначала в квадрате, потом в первой степени. Такая конструкция называется неравенством, рациональным относительно логарифма, и решается заменой: обозначим весь логарифм одной буквой и получим обычное квадратное неравенство.
Но сначала — область допустимых значений (ОДЗ). Под логарифмом должно стоять строго положительное число: $25-x^{2}\gt 0$, то есть $x^{2}\lt 25$, а значит $-5\lt x\lt 5$. Все дальнейшие ответы придётся пересечь с этим промежутком.
Теперь замена. Пусть $u=\log_{2}(25-x^{2})$. Запись $\log_{2}^{2}(25-x^{2})$ означает квадрат логарифма, то есть $u^{2}$. Неравенство превращается в $u^{2}-7u+12\geqslant 0$.
Найдём корни квадратного трёхчлена: $D=(-7)^{2}-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1$, $\sqrt{1}=1$, корни $u_{1}=\dfrac{7-1}{2}=3$ и $u_{2}=\dfrac{7+1}{2}=4$. Значит $u^{2}-7u+12=(u-3)(u-4)$.
Парабола $u^{2}-7u+12$ ветвями вверх, поэтому она неотрицательна вне отрезка между корнями. Получаем два случая: $u\leqslant 3$ или $u\geqslant 4$.
Разберём первый случай: $\log_{2}(25-x^{2})\leqslant 3$. Число $3$ удобно записать как логарифм: $3=\log_{2}8$, потому что $2^{3}=8$. Логарифм с основанием $2\gt 1$ возрастает, поэтому от логарифмов переходим к их аргументам без смены знака: $25-x^{2}\leqslant 8$.
Отсюда $-x^{2}\leqslant 8-25$, то есть $-x^{2}\leqslant -17$, и после умножения на $-1$ (знак неравенства при этом переворачивается) получаем $x^{2}\geqslant 17$, то есть $x\leqslant -\sqrt{17}$ или $x\geqslant \sqrt{17}$.
Второй случай: $\log_{2}(25-x^{2})\geqslant 4$. Аналогично $4=\log_{2}16$, ведь $2^{4}=16$. Значит $25-x^{2}\geqslant 16$, то есть $x^{2}\leqslant 9$, откуда $-3\leqslant x\leqslant 3$.
Осталось собрать ответ. Каждый из найденных кусков пересекаем с ОДЗ $(-5;5)$.
Кусок $x\leqslant -\sqrt{17}$ внутри ОДЗ превращается в $(-5;-\sqrt{17}]$: слева граница $-5$ выколота по ОДЗ, справа $-\sqrt{17}$ входит, так как неравенство нестрогое. Симметрично кусок $x\geqslant \sqrt{17}$ даёт $[\sqrt{17};5)$. Полезно прикинуть: $\sqrt{17}\approx 4{,}12$, то есть эти кусочки действительно лежат внутри промежутка от $-5$ до $5$.
Кусок $-3\leqslant x\leqslant 3$ целиком лежит внутри ОДЗ и сохраняется полностью.
Объединяем три части: $(-5;-\sqrt{17}]\cup[-3;3]\cup[\sqrt{17};5)$.
Проверим себя на $x=0$: тогда $25-0=25$, логарифм равен $\log_{2}25\approx 4{,}64$, и выражение $4{,}64^{2}-7\cdot 4{,}64+12\approx 21{,}5-32{,}5+12=1$ — положительно, значит $x=0$ действительно подходит, и оно как раз попало в средний отрезок.