Решите неравенство log по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка 25 минус x в квадрате правая круглая скобка минус 7 log по основанию 2 левая круглая скобка 25 минус x в квадрате правая круглая скобка плюс 12 больше или равно 0 .

левая круглая скобка минус 5; минус корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента правая квадратная скобка объединение левая квадратная скобка минус 3; 3 правая квадратная скобка объединение левая квадратная скобка корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента ; 5 правая круглая скобка

Задание 15 ЕГЭ по математике: Решите неравенство log по основанию 2 в квадрате левая круглая…

№2. Задание 15

ID: 00022287

Решите неравенство

\log_2^2\left(25-x^2\right)-7\log_2\left(25-x^2\right)+12\ge 0

Источник: ЕГЭ ФИПИ+аналоги (Адиль)

Решение

ОДЗ: $25-x^2>0$ , то есть $-5Замена$ t=\log_2\left(25-x^2\right) $:$ t^2-7t+12\ge 0 $. Корни по Виету:$ 3 $и$ 4 $, значит$ (t-3)(t-4)\ge 0 $, откуда$ t\le 3 $или$ t\ge 4 $.Случай$ t\le 3 $:$ \log_2\left(25-x^2\right)\le 3 $, логарифм возрастает, поэтому$ 25-x^2\le 2^3=8 $. Переносим:$ x^2\ge 17 $— вот он, переворот знака из-за минуса перед$ x^2 $. Получаем$ x\le-\sqrt{17} $или$ x\ge\sqrt{17} $. Пересекаем с ОДЗ$ (-5;\,5) $, учитывая$ \sqrt{17}\approx 4{,}12<5 $: остаётся$ \left(-5;\,-\sqrt{17}\right]\cup\left[\sqrt{17};\,5\right) $.Случай$ t\ge 4 $:$ 25-x^2\ge 2^4=16 $, то есть$ x^2\le 9 $, откуда$ -3\le x\le 3 $— целиком внутри ОДЗ.Объединяем:$ \left(-5;\,-\sqrt{17}\right]\cup[-3;\,3]\cup\left[\sqrt{17};\,5\right) $. Проверка границ: при$ x=3 $будет$ 25-9=16 $,$ t=4 $, и$ 16-28+12=0\ge 0 $— входит; при$ x=\sqrt{17} $будет$ 25-17=8 $,$ t=3 $, и$ 9-21+12=0 $— входит. А точки$ \pm 5 $выколоты: там$ 25-x^2=0$ и логарифм не существует. Всё сходится.

Ответ

\left(-5;\,-\sqrt{17}\right]\cup[-3;\,3]\cup\left[\sqrt{17};\,5\right)