Выглядит страшно, но присмотрись: вся конструкция собрана из степеней двойки. Значит, делаем замену t=2^x, где t>0. Пересчитаем каждый кусок: 8^{x+\frac{2}{3}}=8^x\cdot 8^{\frac{2}{3}}=4t^3, 4^{x+\frac{1}{2}}=4^x\cdot 2=2t^2, 2^{x+1}=2t. Неравенство превращается в \dfrac{4t^3-18t^2+13t-13}{2t^2-9t+4}\le 2t-\dfrac{1}{t-2}+\dfrac{3}{2t-1}.

Знаменатель слева раскладывается: 2t^2-9t+4=(2t-1)(t-4) — корни t=\dfrac{1}{2} и t=4. Теперь выделим целую часть дроби слева: делим 4t^3-18t^2+13t-13 на 2t^2-9t+4 уголком и получаем 4t^3-18t^2+13t-13=2t\cdot\left(2t^2-9t+4\right)+(5t-13). То есть слева стоит 2t+\dfrac{5t-13}{(2t-1)(t-4)}. Слагаемое 2t есть и справа — оно взаимно уничтожается, остаётся \dfrac{5t-13}{(2t-1)(t-4)}+\dfrac{1}{t-2}-\dfrac{3}{2t-1}\le 0.

Сложим первую и третью дроби — у них общий знаменатель, если домножить третью на t-4: \dfrac{5t-13-3(t-4)}{(2t-1)(t-4)}=\dfrac{2t-1}{(2t-1)(t-4)}=\dfrac{1}{t-4} (сократили на 2t-1, помня, что t\ne\dfrac{1}{2}). Всё неравенство схлопывается в \dfrac{1}{t-4}+\dfrac{1}{t-2}\le 0, то есть \dfrac{2t-6}{(t-2)(t-4)}\le 0, или \dfrac{2(t-3)}{(t-2)(t-4)}\le 0.

Метод интервалов по t: точки 2 и 4 выколоты (знаменатели), точка 3 закрашена. При t&lt;2 дробь отрицательна — подходит; на (2;\,3) положительна — мимо; на [3;\,4) неположительна — подходит; при t&gt;4 снова плюс. И не забываем родные ограничения: t&gt;0 (это же 2^x) и t\ne\dfrac{1}{2}, иначе в исходном неравенстве 2^{x+1}-1=0. Итого по t: 0</p><p>Возвращаемся кx. Из0<2^x<2и2^x\ne\dfrac{1}{2}получаемx<1,x\ne -1. Из3\le 2^x<4получаем\log_2 3\le x<2. Проверим граничную точкуt=3, то естьx=\log_2 3: слева\dfrac{4\cdot 27-18\cdot 9+39-13}{2\cdot 9-27+4}=\dfrac{-28}{-5}=5{,}6, справа6-1+0{,}6=5{,}6— равенство, точка входит. Всё сходится: ответ(-\infty;\,-1)\cup(-1;\,1)\cup[\log_2 3;\,2)$.