ID: 00022282
Источник: ФИПИ
Пусть $t=3^x$, $t>0$. Приводим к одной дроби: $t + \dfrac{243}{t-36} = \dfrac{t(t-36)+243}{t-36} = \dfrac{t^2-36t+243}{t-36}$. Неравенство: $\dfrac{t^2-36t+243}{t-36} \geqslant 0$.
Раскладываем числитель на множители. Дискриминант: $D = 36^2 - 4 \cdot 243 = 1296 - 972 = 324 = 18^2$. Корни: $t = \dfrac{36 \pm 18}{2}$, то есть $t_1 = 9$, $t_2 = 27$. Получаем $\dfrac{(t-9)(t-27)}{t-36} \geqslant 0$.
Метод интервалов: $t=9$ и $t=27$ — закрашенные точки (нули числителя), $t=36$ — выколотая (ноль знаменателя). При $t>36$ все скобки положительны — «плюс»; на $(27;\ 36)$ — минус; на $(9;\ 27)$ — плюс; на $(0;\ 9)$ — минус. Решение: $t \in [9;\ 27] \cup (36;\ +\infty)$.
Обратная замена: $9 \leqslant 3^x \leqslant 27$ даёт $2 \leqslant x \leqslant 3$, ведь $9=3^2$, $27=3^3$, а $3^x$ возрастает. Дальше $3^x > 36$ даёт $x > \log_3 36$; заметим, что $36 = 6^2$, поэтому $\log_3 36 = 2\log_3 6$ — так ответ выглядит аккуратнее.
Проверка концов: при $x=2$ имеем $9 + \dfrac{243}{9-36} = 9 - 9 = 0 \geqslant 0$ — входит; при $x=3$: $27 + \dfrac{243}{27-36} = 27 - 27 = 0$ — тоже входит. А между $27$ и $36$, скажем при $t=30$: $30 + \dfrac{243}{-6} = 30 - 40{,}5 < 0$ — не решение, как и получилось. Всё сходится.