Пусть t=3^x, t>0. Приводим к одной дроби: t + \dfrac{243}{t-36} = \dfrac{t(t-36)+243}{t-36} = \dfrac{t^2-36t+243}{t-36}. Неравенство: \dfrac{t^2-36t+243}{t-36} \geqslant 0.

Раскладываем числитель на множители. Дискриминант: D = 36^2 - 4 \cdot 243 = 1296 - 972 = 324 = 18^2. Корни: t = \dfrac{36 \pm 18}{2}, то есть t_1 = 9, t_2 = 27. Получаем \dfrac{(t-9)(t-27)}{t-36} \geqslant 0.

Метод интервалов: t=9 и t=27 — закрашенные точки (нули числителя), t=36 — выколотая (ноль знаменателя). При t>36 все скобки положительны — «плюс»; на (27;\ 36) — минус; на (9;\ 27) — плюс; на (0;\ 9) — минус. Решение: t \in [9;\ 27] \cup (36;\ +\infty).

Обратная замена: 9 \leqslant 3^x \leqslant 27 даёт 2 \leqslant x \leqslant 3, ведь 9=3^2, 27=3^3, а 3^x возрастает. Дальше 3^x > 36 даёт x > \log_3 36; заметим, что 36 = 6^2, поэтому \log_3 36 = 2\log_3 6 — так ответ выглядит аккуратнее.

Проверка концов: при x=2 имеем 9 + \dfrac{243}{9-36} = 9 - 9 = 0 \geqslant 0 — входит; при x=3: 27 + \dfrac{243}{27-36} = 27 - 27 = 0 — тоже входит. А между 27 и 36, скажем при t=30: 30 + \dfrac{243}{-6} = 30 - 40{,}5 < 0 — не решение, как и получилось. Всё сходится.