ID: 00022274
Источник: ФИПИ
а) Чтобы доказать параллельность прямой и плоскости, достаточно найти в плоскости $CEF$ прямую, параллельную $SB$. Будем её строить. Прямая $CE$ лежит в плоскости основания — продлим её до пересечения с прямой $AB$ в точке $T$. Сравним треугольники $TBE$ и $CDE$: углы при вершине $E$ вертикальные, а углы $TBE$ и $CDE$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BD$. Треугольники подобны, поэтому $\dfrac{TB}{CD} = \dfrac{BE}{ED}$. Так как $BD = 9$ и $BE = 4$, то $ED = 9 - 4 = 5$, и $TB = CD \cdot \dfrac{BE}{ED} = 5 \cdot \dfrac{4}{5} = 4$. Значит, $T$ лежит на отрезке $AB$ и $AT = AB - TB = 5 - 4 = 1$.
Теперь поднимаемся из основания. $F$ лежит на ребре $AS$, причём $SF = 4$, откуда $AF = AS - SF = 5 - 4 = 1$. Смотрим на треугольник $ABS$: $\dfrac{AT}{AB} = \dfrac{1}{5}$ и $\dfrac{AF}{AS} = \dfrac{1}{5}$. Доли равны, значит, по обратной теореме Фалеса $TF \parallel SB$.
Собираем вывод. Прямая $TF$ лежит в плоскости $CEF$: точка $T$ — на прямой $CE$, точка $F$ — по условию в этой плоскости. Сама прямая $SB$ в плоскости $CEF$ не лежит: след плоскости $CEF$ в основании — это прямая $CT$, а точка $B$ на ней не лежит. Прямая, параллельная прямой из плоскости и не лежащая в ней, параллельна плоскости: $SB \parallel (CEF)$. Что и требовалось доказать.
б) Сначала поймаем точку $Q$. Точка $E$ лежит на $BD$, то есть принадлежит и плоскости $SBD$. Значит, плоскости $CEF$ и $SBD$ пересекаются по прямой, проходящей через $E$. А раз $SB$ параллельна плоскости $CEF$ и лежит в плоскости $SBD$, линия их пересечения обязана быть параллельной $SB$. Итак, в треугольнике $SBD$ через $E$ идёт прямая, параллельная $BS$, — она и пересекает $SD$ в точке $Q$. По теореме Фалеса $\dfrac{DQ}{DS} = \dfrac{DE}{DB} = \dfrac{5}{9}$.
Теперь высота пирамиды. Все боковые рёбра равны $5$, значит, вершина $S$ равноудалена от вершин основания и проецируется в центр описанной около прямоугольника окружности — в точку $O$ пересечения диагоналей. Тогда $BO = \dfrac{BD}{2} = \dfrac{9}{2}$, и из прямоугольного треугольника $SOB$: $SO = \sqrt{SB^2 - BO^2} = \sqrt{25 - \dfrac{81}{4}} = \sqrt{\dfrac{19}{4}} = \dfrac{\sqrt{19}}{2}$.
Расстояние до плоскости основания у точки, бегущей по отрезку от $D$ к $S$, растёт пропорционально: у $D$ оно нулевое, у $S$ равно $SO$. Поэтому для $Q$: расстояние $= \dfrac{DQ}{DS} \cdot SO = \dfrac{5}{9} \cdot \dfrac{\sqrt{19}}{2} = \dfrac{5\sqrt{19}}{18}$. Проверим себя: $\dfrac{5\sqrt{19}}{18} \approx 1{,}21$ — меньше высоты $SO \approx 2{,}18$, как и должно быть для точки внутри ребра. Всё сходится. Ответ: $\dfrac{5\sqrt{19}}{18}$.