Расстояние… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00022270

а) Здесь всё решает одна красивая средняя линия. Точка $O$ — центр квадрата, то есть точка пересечения диагоналей, а значит, середина $AC$. Точка $M$ — середина $SC$. Тогда в треугольнике $ASC$ отрезок $OM$ соединяет середины сторон $CA$ и $CS$ — это средняя линия, и $OM \parallel SA$.

Осталось убедиться, что сама прямая $SA$ не лежит в плоскости $OMK$. Если бы лежала, то точка $A$ была бы в этой плоскости, а раз $A$ ещё и в плоскости основания — она попала бы на след плоскости $OMK$ в основании, то есть на прямую $OK$. Но прямая $OK$ проходит через центр и точку $K$ на стороне $BC$, а через центр и точку $A$ проходит диагональ $AC$; эти прямые различны, так как $K$ не лежит на $AC$. Противоречие. Значит, прямая $OM$ лежит в плоскости, $SA \parallel OM$ и $SA$ вне плоскости — по признаку параллельности прямой и плоскости $SA \parallel (OMK)$. Что и требовалось доказать.

б) Сначала продлим след плоскости в основании. Прямая $KO$ проходит через центр квадрата, поэтому центральная симметрия относительно $O$ переводит её в себя, а сторону $BC$ — в сторону $DA$. Значит, прямая $KO$ пересекает $AD$ в точке $T$, симметричной $K$: $DT = BK = \dfrac{3}{2}$ и $TA = KC = \dfrac{1}{2}$, то есть $DT : TA = 3 : 1$.

Теперь пересечём плоскость $OMK$ с гранью $SAD$. Плоскость грани содержит прямую $SA$, а наша плоскость ей параллельна (пункт а), поэтому линия пересечения — прямая через $T$, параллельная $SA$. Внутри треугольника $SAD$ она идёт от стороны $AD$ до стороны $SD$: обозначим точку на $SD$ через $L$. Искомый отрезок — $TL$.

Из $TL \parallel AS$ треугольники $DTL$ и $DAS$ подобны с коэффициентом $\dfrac{DT}{DA} = \dfrac{3/2}{2} = \dfrac{3}{4}$, значит, $TL = \dfrac{3}{4}\,SA$.

Считаем $SA$: диагональ основания $AC = AB\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$, поэтому $AO = \sqrt{2}$; из прямоугольного треугольника $SOA$: $SA = \sqrt{SO^2+AO^2} = \sqrt{14+2} = 4$. Тогда $TL = \dfrac{3}{4}\cdot 4 = 3$. Проверим: $3 < SA = 4$ и точка $T$ лежит внутри стороны $AD$ — отрезок целиком помещается в грани, всё сходится. Ответ: $3$.