ID: 00022265
Источник: ФИПИ
а) Плоскость $AKC$ содержит отрезок $AC$ нижнего основания и точку $K$ верхнего. Основания призмы параллельны, поэтому секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым: раз след на нижнем основании — прямая $AC$, след на верхнем — прямая через $K$, параллельная $AC$, а значит, параллельная и $A_1C_1$.
В треугольнике $A_1B_1C_1$ прямая через середину $K$ стороны $A_1B_1$ параллельно $A_1C_1$ — это средняя линия: она пересекает $B_1C_1$ в его середине $N$, и $KN=\dfrac{A_1C_1}{2}=2$.
Итак, сечение — четырёхугольник $AKNC$: сторона $AK$ лежит в грани $AA_1B_1B$, $KN$ — в верхнем основании, $NC$ — в грани $BB_1C_1C$, $CA$ — в нижнем. В нём $KN\parallel AC$, причём $KN=2\ne 4=AC$ — значит, это трапеция.
Осталась равнобедренность. Призма прямая, поэтому $AA_1\perp A_1K$, и из прямоугольного треугольника $AA_1K$: $AK^2=AA_1^2+A_1K^2=16+4=20$. Точно так же $CC_1\perp C_1N$ и $CN^2=CC_1^2+C_1N^2=16+4=20$. Боковые стороны равны: $AK=CN=2\sqrt5$. Трапеция равнобедренная. Что и требовалось.
б) Расстояние от точки до плоскости удобнее всего добыть методом объёмов: посчитаем объём пирамиды $ABCK$ двумя способами.
Способ первый — основание $ABC$, вершина $K$. Точка $K$ лежит в верхнем основании, а расстояние между основаниями прямой призмы равно боковому ребру: высота равна $4$. Площадь правильного треугольника: $S_{ABC}=\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot 4^2=4\sqrt3$. Объём: $V=\dfrac13\cdot 4\sqrt3\cdot 4=\dfrac{16\sqrt3}{3}$.
Способ второй — основание $ACK$, вершина $B$: $V=\dfrac13\cdot S_{ACK}\cdot d$, где $d$ — искомое расстояние от $B$ до плоскости $AKC$.
Считаем площадь треугольника $ACK$. Его стороны: $AC=4$, $AK=2\sqrt5$ (уже нашли), а $CK$ — из прямоугольного треугольника $CC_1K$: отрезок $C_1K$ — медиана равностороннего треугольника $A_1B_1C_1$, то есть $C_1K=\dfrac{4\sqrt3}{2}=2\sqrt3$, и $CK^2=16+12=28$.
Опустим в треугольнике $ACK$ высоту из $K$ на $AC$, основание высоты — точка $F$, $AF=x$. Тогда квадрат высоты можно записать двумя способами: $AK^2-x^2=CK^2-(4-x)^2$, то есть $20-x^2=28-16+8x-x^2$, откуда $8x=8$ и $x=1$. Высота: $\sqrt{20-1}=\sqrt{19}$. Площадь: $S_{ACK}=\dfrac12\cdot 4\cdot\sqrt{19}=2\sqrt{19}$.
Приравниваем объёмы: $\dfrac13\cdot 2\sqrt{19}\cdot d=\dfrac{16\sqrt3}{3}$, значит $d=\dfrac{16\sqrt3}{2\sqrt{19}}=\dfrac{8\sqrt3}{\sqrt{19}}=\dfrac{8\sqrt{57}}{19}$.
Проверим: $\dfrac{8\sqrt{57}}{19}\approx 3{,}2$ — меньше ребра призмы $4$, для расстояния внутри призмы выглядит честно. Всё сходится.