В правильной треугольной призме ABCA индекс 1 B индекс 1 C индекс 1 все рёбра равны 4 . Точка K — середина ребра A индекс 1 B индекс 1 . а) Докажите, что сечение призмы плоскостью AKC является равнобедренной трапецией. б) Найдите расстояние от точки B до плоскости AKC .

а) доказано; б) дробь: числитель: 8 корень из: начало аргумента: 57 конец аргумента, знаменатель: 19 конец дроби

Задание 14 ЕГЭ по математике: В правильной треугольной призме ABCA индекс 1 B индекс 1 C…

№2. Задание 14

ID: 00022265

В правильной треугольной призме

ABCA_1B_1C_1

все рёбра равны

4

. Точка

K

— середина ребра

A_1B_1

. а) Докажите, что сечение призмы плоскостью

AKC

является равнобедренной трапецией. б) Найдите расстояние от точки

B

до плоскости

AKC

Источник: ЕГЭ ФИПИ+аналоги (Адиль)

Решение

а) Плоскость $AKC$ содержит отрезок $AC$ нижнего основания и точку $K$ верхнего. Основания призмы параллельны, поэтому секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым: раз след на нижнем основании — прямая $AC$ , след на верхнем — прямая через $K$ , параллельная $AC$ , а значит, параллельная и $A_1C_1$ .

В треугольнике $A_1B_1C_1$ прямая через середину $K$ стороны $A_1B_1$ параллельно $A_1C_1$ — это средняя линия: она пересекает $B_1C_1$ в его середине $N$ , и $KN=\dfrac{A_1C_1}{2}=2$ .

Итак, сечение — четырёхугольник $AKNC$ : сторона $AK$ лежит в грани $AA_1B_1B$ , $KN$ — в верхнем основании, $NC$ — в грани $BB_1C_1C$ , $CA$ — в нижнем. В нём $KN\parallel AC$ , причём $KN=2\ne 4=AC$ — значит, это трапеция.

Осталась равнобедренность. Призма прямая, поэтому $AA_1\perp A_1K$ , и из прямоугольного треугольника $AA_1K$ : $AK^2=AA_1^2+A_1K^2=16+4=20$ . Точно так же $CC_1\perp C_1N$ и $CN^2=CC_1^2+C_1N^2=16+4=20$ . Боковые стороны равны: $AK=CN=2\sqrt5$ . Трапеция равнобедренная. Что и требовалось.

б) Расстояние от точки до плоскости удобнее всего добыть методом объёмов: посчитаем объём пирамиды $ABCK$ двумя способами.

Способ первый — основание $ABC$ , вершина $K$ . Точка $K$ лежит в верхнем основании, а расстояние между основаниями прямой призмы равно боковому ребру: высота равна $4$ . Площадь правильного треугольника: $S_{ABC}=\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot 4^2=4\sqrt3$ . Объём: $V=\dfrac13\cdot 4\sqrt3\cdot 4=\dfrac{16\sqrt3}{3}$ .

Способ второй — основание $ACK$ , вершина $B$ : $V=\dfrac13\cdot S_{ACK}\cdot d$ , где $d$ — искомое расстояние от $B$ до плоскости $AKC$ .

Считаем площадь треугольника $ACK$ . Его стороны: $AC=4$ , $AK=2\sqrt5$ (уже нашли), а $CK$ — из прямоугольного треугольника $CC_1K$ : отрезок $C_1K$ — медиана равностороннего треугольника $A_1B_1C_1$ , то есть $C_1K=\dfrac{4\sqrt3}{2}=2\sqrt3$ , и $CK^2=16+12=28$ .

Опустим в треугольнике $ACK$ высоту из $K$ на $AC$ , основание высоты — точка $F$ , $AF=x$ . Тогда квадрат высоты можно записать двумя способами: $AK^2-x^2=CK^2-(4-x)^2$ , то есть $20-x^2=28-16+8x-x^2$ , откуда $8x=8$ и $x=1$ . Высота: $\sqrt{20-1}=\sqrt{19}$ . Площадь: $S_{ACK}=\dfrac12\cdot 4\cdot\sqrt{19}=2\sqrt{19}$ .

Приравниваем объёмы: $\dfrac13\cdot 2\sqrt{19}\cdot d=\dfrac{16\sqrt3}{3}$ , значит $d=\dfrac{16\sqrt3}{2\sqrt{19}}=\dfrac{8\sqrt3}{\sqrt{19}}=\dfrac{8\sqrt{57}}{19}$ .

Проверим: $\dfrac{8\sqrt{57}}{19}\approx 3{,}2$ — меньше ребра призмы $4$ , для расстояния внутри призмы выглядит честно. Всё сходится.

Ответ

а) доказано; б)

\dfrac{8\sqrt{57}}{19}