ID: 00022262
Источник: ФИПИ
а) Разберёмся с основаниями трапеции. Точки $A$ и $N$ лежат в плоскости нижнего основания призмы, $M$ и $K$ — в плоскости верхнего. Плоскость трапеции пересекает две параллельные плоскости по параллельным прямым, значит, $MK\parallel AN$ — это и есть основания.
Спроецируем $M$ и $K$ на нижнее основание: получим $M_0$ на $AB$ и $K_0$ на $BC$. Проекция опускает обе точки вниз на одну и ту же высоту, поэтому отрезок $M_0K_0$ параллелен и равен $MK$.
В плоскости основания: $A$ и $M_0$ лежат на прямой $AB$, $N$ и $K_0$ — на прямой $BC$, прямые пересекаются в точке $B$, и $M_0K_0\parallel AN$. По теореме Фалеса $\dfrac{BM_0}{BA}=\dfrac{BK_0}{BN}=\dfrac{MK}{AN}$.
Так как $M_0$ — точка отрезка $AB$, отношение $\dfrac{BM_0}{BA}$ не превосходит единицы, поэтому $MK$ — меньшее основание: $MK=2$, $AN=4$, коэффициент равен $\dfrac{1}{2}$. Тогда $BM_0=\dfrac{BA}{2}$, то есть $M_0$ — середина $AB$, а $M$ — середина $A_1B_1$. Доказано. Попутно получили $BK_0=\dfrac{BN}{2}$ — пригодится в пункте б).
б) Пусть $AB=c$, $BC=a$, высота призмы $h$. Из $B_1K:KC_1=1:3$ следует $BK_0=\dfrac{a}{4}$, а из пункта а) $BN=2BK_0=\dfrac{a}{2}$ — точка $N$ оказалась серединой $BC$. Заодно $NK_0=BN-BK_0=\dfrac{a}{4}$.
Равнобедренность: $AM=KN$. По Пифагору $AM^2=\dfrac{c^2}{4}+h^2$ (горизонтальная часть $AM_0=\dfrac{c}{2}$, вертикальная — $h$) и $KN^2=\dfrac{a^2}{16}+h^2$. Приравниваем: $\dfrac{c^2}{4}=\dfrac{a^2}{16}$, значит, $c=\dfrac{a}{2}$.
Условие $AN=4$: в треугольнике $ABN$ стороны $AB=c$ и $BN=\dfrac{a}{2}$, угол при вершине $B$ равен $180^\circ-60^\circ=120^\circ$. Теорема косинусов (помним, что $\cos 120^\circ=-\dfrac{1}{2}$, поэтому появляется плюс): $AN^2=c^2+\dfrac{a^2}{4}+c\cdot\dfrac{a}{2}$. Подставляем $c=\dfrac{a}{2}$: $\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{a^2}{4}=\dfrac{3a^2}{4}=16$, откуда $a^2=\dfrac{64}{3}$.
Площадь основания: $S=c\cdot a\cdot\sin 60^\circ=\dfrac{a^2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{64}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{16\sqrt{3}}{3}$.
Высота: $h=\dfrac{V}{S}=16:\dfrac{16\sqrt{3}}{3}=\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$.
Проверка: $S\cdot h=\dfrac{16\sqrt{3}}{3}\cdot\sqrt{3}=\dfrac{16\cdot 3}{3}=16$ — объём совпал, всё сходится. Ответ: $\sqrt{3}$.