ID: 00022261
Источник: ФИПИ
а) Сначала поймём, какие стороны трапеции — основания. Точки $A$ и $N$ лежат в плоскости нижнего основания призмы, а $M$ и $K$ — в плоскости верхнего. Плоскость трапеции пересекает две параллельные плоскости — линии пересечения параллельны: $MK\parallel AN$. Вот и основания трапеции: $MK$ и $AN$.
Спустим верхние точки вниз. Пусть $M_0$ и $K_0$ — проекции $M$ и $K$ на нижнее основание: $M_0$ лежит на $AB$, $K_0$ — на $BC$. Отрезки $MM_0$ и $KK_0$ вертикальны и равны, поэтому $M_0K_0$ параллелен и равен $MK$.
Теперь вся картинка в одной плоскости: $A$ и $M_0$ — на прямой $AB$, $N$ и $K_0$ — на прямой $BC$, эти прямые пересекаются в точке $B$, и при этом $M_0K_0\parallel AN$. По теореме Фалеса для двух секущих из одной точки: $\dfrac{BM_0}{BA}=\dfrac{BK_0}{BN}=\dfrac{M_0K_0}{AN}=\dfrac{MK}{AN}$.
Какое из оснований равно 1, а какое 2? Отношение $\dfrac{BM_0}{BA}$ не больше единицы — точка $M_0$ лежит на отрезке $AB$. Значит, $MK$ — меньшее основание: $MK=1$, $AN=2$, и весь коэффициент равен $\dfrac{1}{2}$.
Отсюда $BM_0=\dfrac{BA}{2}$: точка $M_0$ — середина $AB$, а значит, $M$ — середина $A_1B_1$. Доказано. Бонус, который пригодится дальше: $BK_0=\dfrac{BN}{2}$.
б) Обозначим $AB=c$, $BC=a$, высоту призмы $h$. По условию $B_1K:KC_1=2:3$, значит, $BK_0=\dfrac{2}{5}a$. Из пункта а) $BN=2BK_0=\dfrac{4}{5}a$, и заодно $NK_0=BN-BK_0=\dfrac{2}{5}a$.
Используем равнобедренность: боковые стороны трапеции равны, $AM=KN$. Обе наклонные считаем по Пифагору через вертикаль $h$ и горизонтальную проекцию: $AM^2=AM_0^2+h^2=\dfrac{c^2}{4}+h^2$, а $KN^2=K_0N^2+h^2=\dfrac{4a^2}{25}+h^2$. Приравниваем: $\dfrac{c^2}{4}=\dfrac{4a^2}{25}$, откуда $\dfrac{c}{2}=\dfrac{2a}{5}$ и $c=\dfrac{4a}{5}$.
Теперь пустим в дело $AN=2$. В треугольнике $ABN$: $AB=c$, $BN=\dfrac{4a}{5}$, а угол $ABN$ — это угол параллелограмма при вершине $B$, он равен $180^\circ-60^\circ=120^\circ$. Теорема косинусов: $AN^2=c^2+\dfrac{16a^2}{25}-2\cdot c\cdot\dfrac{4a}{5}\cdot\cos 120^\circ=c^2+\dfrac{16a^2}{25}+\dfrac{4ac}{5}$.
Подставим $c=\dfrac{4a}{5}$: получится $\dfrac{16a^2}{25}+\dfrac{16a^2}{25}+\dfrac{16a^2}{25}=\dfrac{48a^2}{25}=4$, откуда $a^2=\dfrac{25}{12}$.
Площадь основания-параллелограмма: $S=c\cdot a\cdot\sin 60^\circ=\dfrac{4a^2}{5}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{25}{12}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{5}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{5\sqrt{3}}{6}$.
Осталась высота: $h=\dfrac{V}{S}=5:\dfrac{5\sqrt{3}}{6}=\dfrac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$.
Проверим: $S\cdot h=\dfrac{5\sqrt{3}}{6}\cdot 2\sqrt{3}=\dfrac{5\cdot 2\cdot 3}{6}=5$ — объём сошёлся, всё в порядке. Ответ: $2\sqrt{3}$.