Задание 14 ЕГЭ по математике: В основании прямой призмы ABCDA индекс 1 B индекс 1 C индекс 1 D…

№2. Задание 14

ID: 00022261

В основании прямой призмы

ABCDA_1B_1C_1D_1

лежит параллелограмм

ABCD

с углом

60^\circ

при вершине

A

. На рёбрах

A_1B_1

B_1C_1

BC

отмечены точки

M

K

N

соответственно так, что четырёхугольник

AMKN

— равнобедренная трапеция с основаниями 1 и 2. а) Докажите, что точка

M

— середина ребра

A_1B_1

. б) Найдите высоту призмы, если её объём равен 5 и известно, что точка

K

делит ребро

B_1C_1

в отношении

B_1K:KC_1=2:3

Источник: ЕГЭ ФИПИ+аналоги (Адиль)

Решение

а) Сначала поймём, какие стороны трапеции — основания. Точки $A$ и $N$ лежат в плоскости нижнего основания призмы, а $M$ и $K$ — в плоскости верхнего. Плоскость трапеции пересекает две параллельные плоскости — линии пересечения параллельны: $MK\parallel AN$ . Вот и основания трапеции: $MK$ и $AN$ .

Спустим верхние точки вниз. Пусть $M_0$ и $K_0$ — проекции $M$ и $K$ на нижнее основание: $M_0$ лежит на $AB$ , $K_0$ — на $BC$ . Отрезки $MM_0$ и $KK_0$ вертикальны и равны, поэтому $M_0K_0$ параллелен и равен $MK$ .

Теперь вся картинка в одной плоскости: $A$ и $M_0$ — на прямой $AB$ , $N$ и $K_0$ — на прямой $BC$ , эти прямые пересекаются в точке $B$ , и при этом $M_0K_0\parallel AN$ . По теореме Фалеса для двух секущих из одной точки: $\dfrac{BM_0}{BA}=\dfrac{BK_0}{BN}=\dfrac{M_0K_0}{AN}=\dfrac{MK}{AN}$ .

Какое из оснований равно 1, а какое 2? Отношение $\dfrac{BM_0}{BA}$ не больше единицы — точка $M_0$ лежит на отрезке $AB$ . Значит, $MK$ — меньшее основание: $MK=1$ , $AN=2$ , и весь коэффициент равен $\dfrac{1}{2}$ .

Отсюда $BM_0=\dfrac{BA}{2}$ : точка $M_0$ — середина $AB$ , а значит, $M$ — середина $A_1B_1$ . Доказано. Бонус, который пригодится дальше: $BK_0=\dfrac{BN}{2}$ .

б) Обозначим $AB=c$ , $BC=a$ , высоту призмы $h$ . По условию $B_1K:KC_1=2:3$ , значит, $BK_0=\dfrac{2}{5}a$ . Из пункта а) $BN=2BK_0=\dfrac{4}{5}a$ , и заодно $NK_0=BN-BK_0=\dfrac{2}{5}a$ .

Используем равнобедренность: боковые стороны трапеции равны, $AM=KN$ . Обе наклонные считаем по Пифагору через вертикаль $h$ и горизонтальную проекцию: $AM^2=AM_0^2+h^2=\dfrac{c^2}{4}+h^2$ , а $KN^2=K_0N^2+h^2=\dfrac{4a^2}{25}+h^2$ . Приравниваем: $\dfrac{c^2}{4}=\dfrac{4a^2}{25}$ , откуда $\dfrac{c}{2}=\dfrac{2a}{5}$ и $c=\dfrac{4a}{5}$ .

Теперь пустим в дело $AN=2$ . В треугольнике $ABN$ : $AB=c$ , $BN=\dfrac{4a}{5}$ , а угол $ABN$ — это угол параллелограмма при вершине $B$ , он равен $180^\circ-60^\circ=120^\circ$ . Теорема косинусов: $AN^2=c^2+\dfrac{16a^2}{25}-2\cdot c\cdot\dfrac{4a}{5}\cdot\cos 120^\circ=c^2+\dfrac{16a^2}{25}+\dfrac{4ac}{5}$ .

Подставим $c=\dfrac{4a}{5}$ : получится $\dfrac{16a^2}{25}+\dfrac{16a^2}{25}+\dfrac{16a^2}{25}=\dfrac{48a^2}{25}=4$ , откуда $a^2=\dfrac{25}{12}$ .

Площадь основания-параллелограмма: $S=c\cdot a\cdot\sin 60^\circ=\dfrac{4a^2}{5}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{25}{12}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{5}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{5\sqrt{3}}{6}$ .

Осталась высота: $h=\dfrac{V}{S}=5:\dfrac{5\sqrt{3}}{6}=\dfrac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$ .

Проверим: $S\cdot h=\dfrac{5\sqrt{3}}{6}\cdot 2\sqrt{3}=\dfrac{5\cdot 2\cdot 3}{6}=5$ — объём сошёлся, всё в порядке. Ответ: $2\sqrt{3}$ .

Ответ

а) доказательство; б)

2\sqrt{3}