Расстояние… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00022258

Сначала разберёмся с точками. $M$ лежит на боковом ребре $AA_1$, причём $A_1M=2MA$ — то есть $M$ отстоит от $A$ на треть ребра. А $K$ — середина ребра $A_1B_1$, ведь $A_1K=KB_1$.

а) Весь фокус — в отрезке $C_1K$. Верхнее основание $A_1B_1C_1$ — равносторонний треугольник (призма правильная), а $K$ — середина стороны $A_1B_1$. Значит, $C_1K$ — медиана равностороннего треугольника, а она же и высота: $C_1K\perp A_1B_1$.

Дальше: призма прямая, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$. Отрезок $C_1K$ лежит в этой плоскости, поэтому $AA_1\perp C_1K$.

Получили: $C_1K$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым $A_1B_1$ и $AA_1$ из плоскости $ABB_1A_1$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $C_1K\perp ABB_1A_1$.

Теперь смотрим на плоскость $\alpha$. Она перпендикулярна грани $ABB_1A_1$ и пересекает её по прямой $MK$ — и точка $K$ лежит на этой линии пересечения. Вспоминаем классическую теорему: если две плоскости перпендикулярны, то перпендикуляр к одной из них, проведённый через точку их линии пересечения, целиком лежит во второй плоскости. Прямая $KC_1$ — как раз перпендикуляр к грани $ABB_1A_1$ в точке $K$, значит, она лежит в $\alpha$. А раз в $\alpha$ лежит вся прямая $KC_1$, то и точка $C_1$ принадлежит $\alpha$. Что и требовалось доказать.

б) Соберём сечение. В грани $ABB_1A_1$ плоскость $\alpha$ высекает отрезок $MK$, в верхнем основании — отрезок $KC_1$, а в грани $ACC_1A_1$ — отрезок $C_1M$: ведь $M$ лежит на ребре $AA_1$ этой грани, а $C_1$ — её вершина. Ломаная замкнулась: сечение — треугольник $MKC_1$.

Самое приятное: $C_1K\perp ABB_1A_1$ (доказали в пункте а), а $MK$ лежит в этой грани. Значит, $C_1K\perp MK$ — треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине $K$!

Считаем катеты. Из $A_1M=2MA$ и $AA_1=12$ получаем $MA=4$ и $A_1M=8$; кроме того, $A_1K=6$ — половина ребра. Треугольник $MA_1K$ прямоугольный (ребро $AA_1$ перпендикулярно верхнему основанию, значит $AA_1\perp A_1B_1$), поэтому $MK=\sqrt{A_1M^2+A_1K^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$.

Второй катет $C_1K$ — высота равностороннего треугольника со стороной 12: $C_1K=\dfrac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$.

Площадь: $S=\dfrac{1}{2}\cdot MK\cdot C_1K=\dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 6\sqrt{3}=30\sqrt{3}$.

Проверим себя: катеты $10$ и $6\sqrt{3}\approx 10{,}4$ — сечение разумного размера внутри призмы с ребром 12, всё сходится.