а) Ключевая идея — проекция на плоскость основания вдоль боковых рёбер. Призма правильная, то есть прямая, поэтому это обычное проецирование «сверху вниз».

Куда проецируются вершины треугольника CMN? Точка M лежит на ребре AA_1 — её проекция это A. Точка N лежит на BB_1 — проекция B. Точка C уже в основании и остаётся на месте. Значит, треугольник CMN проецируется ровно в треугольник ABC.

Проекция — вещь послушная: отрезки она переводит в отрезки, середины — в середины и сохраняет отношения на прямых. Поэтому медианы треугольника CMN переходят в медианы треугольника ABC, а точка пересечения медиан G — в точку пересечения медиан основания.

Но ABC — равносторонний треугольник: у него центр описанной окружности и точка пересечения медиан совпадают, это и есть O. Итак, проекция точки G — это O, то есть G лежит на вертикальной прямой через O. А в правильной призме O_1 находится ровно над O, так что эта вертикальная прямая — в точности OO_1. Доказано.

б) Введём координаты: A(0;0;0), B(6;0;0), C(3;3\sqrt{3};0) — равносторонний треугольник со стороной 6 и высотой 3\sqrt{3}; ось z — вверх. Тогда M(0;0;3), N(6;0;3), а C_1(3;3\sqrt{3};4).

Ищем плоскость CMN. Векторы в ней: \overrightarrow{CM} = (-3;-3\sqrt{3};3) и \overrightarrow{CN} = (3;-3\sqrt{3};3). Нормаль перпендикулярна обоим — подойдёт \vec{n} = (0;1;\sqrt{3}): проверяем, \vec{n} \cdot \overrightarrow{CM} = 0 - 3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 0, и с \overrightarrow{CN} ровно так же. Всё сходится.

Уравнение плоскости через точку M(0;0;3): y + \sqrt{3}(z - 3) = 0, то есть y + \sqrt{3}z = 3\sqrt{3}. Контроль по точке C: 3\sqrt{3} + 0 = 3\sqrt{3} — верно.

Расстояние от C_1(3;3\sqrt{3};4): d = \dfrac{|3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3}|}{\sqrt{1 + 3}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}.