Расстояние… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00022256

а) Ключевая идея — проекция на плоскость основания вдоль боковых рёбер. Призма правильная, то есть прямая, поэтому это обычное проецирование «сверху вниз».

Куда проецируются вершины треугольника $CMN$? Точка $M$ лежит на ребре $AA_1$ — её проекция это $A$. Точка $N$ лежит на $BB_1$ — проекция $B$. Точка $C$ уже в основании и остаётся на месте. Значит, треугольник $CMN$ проецируется ровно в треугольник $ABC$.

Проекция — вещь послушная: отрезки она переводит в отрезки, середины — в середины и сохраняет отношения на прямых. Поэтому медианы треугольника $CMN$ переходят в медианы треугольника $ABC$, а точка пересечения медиан $G$ — в точку пересечения медиан основания.

Но $ABC$ — равносторонний треугольник: у него центр описанной окружности и точка пересечения медиан совпадают, это и есть $O$. Итак, проекция точки $G$ — это $O$, то есть $G$ лежит на вертикальной прямой через $O$. А в правильной призме $O_1$ находится ровно над $O$, так что эта вертикальная прямая — в точности $OO_1$. Доказано.

б) Введём координаты: $A(0;0;0)$, $B(6;0;0)$, $C(3;3\sqrt{3};0)$ — равносторонний треугольник со стороной 6 и высотой $3\sqrt{3}$; ось $z$ — вверх. Тогда $M(0;0;3)$, $N(6;0;3)$, а $C_1(3;3\sqrt{3};4)$.

Ищем плоскость $CMN$. Векторы в ней: $\overrightarrow{CM} = (-3;-3\sqrt{3};3)$ и $\overrightarrow{CN} = (3;-3\sqrt{3};3)$. Нормаль перпендикулярна обоим — подойдёт $\vec{n} = (0;1;\sqrt{3})$: проверяем, $\vec{n} \cdot \overrightarrow{CM} = 0 - 3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 0$, и с $\overrightarrow{CN}$ ровно так же. Всё сходится.

Уравнение плоскости через точку $M(0;0;3)$: $y + \sqrt{3}(z - 3) = 0$, то есть $y + \sqrt{3}z = 3\sqrt{3}$. Контроль по точке $C$: $3\sqrt{3} + 0 = 3\sqrt{3}$ — верно.

Расстояние от $C_1(3;3\sqrt{3};4)$: $d = \dfrac{|3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3}|}{\sqrt{1 + 3}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$.