Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022245

а) В показателях стоят $\cos x$ и $\cos(\pi-x)$. Формула приведения говорит: $\cos(\pi-x)=-\cos x$ — косинус «отражённого» угла меняет знак. Значит, уравнение превращается в $16^{\cos x}+16^{-\cos x}=\dfrac{17}{4}$.

Делаем замену $t=16^{\cos x}$. Степень с положительным основанием всегда положительна, поэтому $t>0$, а второе слагаемое — это $\dfrac{1}{t}$: получаем $t+\dfrac{1}{t}=\dfrac{17}{4}$.

Умножаем обе части на $4t$: $4t^2+4=17t$, то есть $4t^2-17t+4=0$. Дискриминант: $D=289-64=225$, $\sqrt{D}=15$. Корни: $t=\dfrac{17+15}{8}=4$ и $t=\dfrac{17-15}{8}=\dfrac{1}{4}$ — оба положительные, оба в деле.

Возвращаемся к косинусу: $16^{\cos x}=4=16^{1/2}$ даёт $\cos x=\dfrac{1}{2}$; $16^{\cos x}=\dfrac{1}{4}=16^{-1/2}$ даёт $\cos x=-\dfrac{1}{2}$.

$\cos x=\dfrac{1}{2}$ — это $x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$, а $\cos x=-\dfrac{1}{2}$ — это $x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k$. На круге эти точки чередуются через каждые $\pi$, поэтому всё собирается в две серии: $x=\dfrac{\pi}{3}+\pi n$ и $x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Проверка подстановкой: при $\cos x=\dfrac{1}{2}$ получаем $4+\dfrac{1}{4}=\dfrac{17}{4}$ — всё сходится, при $\cos x=-\dfrac{1}{2}$ слагаемые меняются местами.

б) Отрезок $\left[\pi;\ \dfrac{5\pi}{2}\right]$ переведём в шестые доли: $\left[\dfrac{6\pi}{6};\ \dfrac{15\pi}{6}\right]$.

Серия $x=\dfrac{\pi}{3}+\pi n$: при $n=1$ выходит $\dfrac{4\pi}{3}=\dfrac{8\pi}{6}$ — внутри; при $n=2$ выходит $\dfrac{7\pi}{3}=\dfrac{14\pi}{6}$ — внутри; $n=0$ даёт $\dfrac{2\pi}{6}$ (рано), $n=3$ даёт $\dfrac{20\pi}{6}$ (поздно).

Серия $x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n$: при $n=2$ получаем $\dfrac{5\pi}{3}=\dfrac{10\pi}{6}$ — внутри; $n=1$ даёт $\dfrac{4\pi}{6}$ (рано), $n=3$ даёт $\dfrac{16\pi}{6}$ — уже за $\dfrac{15\pi}{6}$.

Итого три корня: $\dfrac{4\pi}{3}$, $\dfrac{5\pi}{3}$, $\dfrac{7\pi}{3}$ — все между $\dfrac{6\pi}{6}$ и $\dfrac{15\pi}{6}$, всё сходится.