ID: 00022244
Источник: ФИПИ
а) Смотрим на показатели: там $\sin x$ и $\sin(x+\pi)$. Вспоминаем формулу приведения: $\sin(x+\pi)=-\sin x$ — сдвиг на полкруга меняет у синуса знак. Значит, на самом деле уравнение такое: $16^{\sin x}+16^{-\sin x}=\dfrac{17}{4}$.
Это классическая картина «число плюс обратное к нему». Делаем замену $t=16^{\sin x}$. Показательная функция всегда положительна, так что $t>0$, а второе слагаемое — это $\dfrac{1}{t}$. Получаем $t+\dfrac{1}{t}=\dfrac{17}{4}$.
Умножаем обе части на $4t$ (это законно: $t>0$, на ноль не умножаем): $4t^2+4=17t$, то есть $4t^2-17t+4=0$. Дискриминант: $D=17^2-4\cdot 4\cdot 4=289-64=225$, $\sqrt{D}=15$. Корни: $t=\dfrac{17+15}{8}=4$ и $t=\dfrac{17-15}{8}=\dfrac{1}{4}$. Оба положительные — берём оба.
Возвращаемся к $x$. Если $16^{\sin x}=4$, то замечаем, что $4=16^{1/2}$, и получаем $\sin x=\dfrac{1}{2}$. Если $16^{\sin x}=\dfrac{1}{4}=16^{-1/2}$, то $\sin x=-\dfrac{1}{2}$.
Точки на круге, где синус равен $\dfrac{1}{2}$ или $-\dfrac{1}{2}$, повторяются через каждые $\pi$, поэтому все четыре серии собираются в две: $x=\dfrac{\pi}{6}+\pi n$ и $x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.
Проверим подстановкой: при $\sin x=\dfrac{1}{2}$ выходит $16^{1/2}+16^{-1/2}=4+\dfrac{1}{4}=\dfrac{17}{4}$ — сходится; при $\sin x=-\dfrac{1}{2}$ слагаемые просто меняются местами, сумма та же.
б) Отбираем корни на отрезке $\left[\dfrac{3\pi}{2};\ 3\pi\right]$. Удобно перевести всё в шестые доли числа $\pi$: отрезок — это $\left[\dfrac{9\pi}{6};\ \dfrac{18\pi}{6}\right]$.
Серия $x=\dfrac{\pi}{6}+\pi n$: при $n=1$ выходит $\dfrac{7\pi}{6}$ — не дотягивает до $\dfrac{9\pi}{6}$; при $n=2$ выходит $\dfrac{13\pi}{6}$ — внутри; при $n=3$ уже $\dfrac{19\pi}{6}$ — перелёт за $\dfrac{18\pi}{6}$.
Серия $x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi n$: при $n=2$ получаем $\dfrac{11\pi}{6}$ — внутри; при $n=3$ получаем $\dfrac{17\pi}{6}$ — тоже внутри; $n=1$ даёт $\dfrac{5\pi}{6}$ (рано), $n=4$ даёт $\dfrac{23\pi}{6}$ (поздно).
Итого три корня: $\dfrac{11\pi}{6}$, $\dfrac{13\pi}{6}$, $\dfrac{17\pi}{6}$. Все три зажаты между $\dfrac{9\pi}{6}$ и $\dfrac{18\pi}{6}$ — всё сходится.