а) Смотрим на показатели: там \sin x и \sin(x+\pi). Вспоминаем формулу приведения: \sin(x+\pi)=-\sin x — сдвиг на полкруга меняет у синуса знак. Значит, на самом деле уравнение такое: 16^{\sin x}+16^{-\sin x}=\dfrac{17}{4}.

Это классическая картина «число плюс обратное к нему». Делаем замену t=16^{\sin x}. Показательная функция всегда положительна, так что t>0, а второе слагаемое — это \dfrac{1}{t}. Получаем t+\dfrac{1}{t}=\dfrac{17}{4}.

Умножаем обе части на 4t (это законно: t>0, на ноль не умножаем): 4t^2+4=17t, то есть 4t^2-17t+4=0. Дискриминант: D=17^2-4\cdot 4\cdot 4=289-64=225, \sqrt{D}=15. Корни: t=\dfrac{17+15}{8}=4 и t=\dfrac{17-15}{8}=\dfrac{1}{4}. Оба положительные — берём оба.

Возвращаемся к x. Если 16^{\sin x}=4, то замечаем, что 4=16^{1/2}, и получаем \sin x=\dfrac{1}{2}. Если 16^{\sin x}=\dfrac{1}{4}=16^{-1/2}, то \sin x=-\dfrac{1}{2}.

Точки на круге, где синус равен \dfrac{1}{2} или -\dfrac{1}{2}, повторяются через каждые \pi, поэтому все четыре серии собираются в две: x=\dfrac{\pi}{6}+\pi n и x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Проверим подстановкой: при \sin x=\dfrac{1}{2} выходит 16^{1/2}+16^{-1/2}=4+\dfrac{1}{4}=\dfrac{17}{4} — сходится; при \sin x=-\dfrac{1}{2} слагаемые просто меняются местами, сумма та же.

б) Отбираем корни на отрезке \left[\dfrac{3\pi}{2};\ 3\pi\right]. Удобно перевести всё в шестые доли числа \pi: отрезок — это \left[\dfrac{9\pi}{6};\ \dfrac{18\pi}{6}\right].

Серия x=\dfrac{\pi}{6}+\pi n: при n=1 выходит \dfrac{7\pi}{6} — не дотягивает до \dfrac{9\pi}{6}; при n=2 выходит \dfrac{13\pi}{6} — внутри; при n=3 уже \dfrac{19\pi}{6} — перелёт за \dfrac{18\pi}{6}.

Серия x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi n: при n=2 получаем \dfrac{11\pi}{6} — внутри; при n=3 получаем \dfrac{17\pi}{6} — тоже внутри; n=1 даёт \dfrac{5\pi}{6} (рано), n=4 даёт \dfrac{23\pi}{6} (поздно).

Итого три корня: \dfrac{11\pi}{6}, \dfrac{13\pi}{6}, \dfrac{17\pi}{6}. Все три зажаты между \dfrac{9\pi}{6} и \dfrac{18\pi}{6} — всё сходится.