а) Показатели разные — \sin^2 x и \cos 2x, — но их роднит формула понижения степени: 2\sin^2 x=1-\cos 2x. Поэтому 16^{\sin^2 x}=4^{2\sin^2 x}=4^{1-\cos 2x}=\dfrac{4}{4^{\cos 2x}}.

Замена u=4^{\cos 2x}, u>0: уравнение принимает вид 4\cdot\dfrac{4}{u}-6u=29, то есть \dfrac{16}{u}-6u=29. Умножаем на u и собираем всё слева: 6u^2+29u-16=0.

Дискриминант: 29^2+4\cdot 6\cdot 16=841+384=1225=35^2. Корни: u=\dfrac{-29\pm 35}{12}, то есть u=\dfrac{1}{2} и u=-\dfrac{16}{3}. Отрицательный отбрасываем — показательная функция положительна.

Осталось 4^{\cos 2x}=\dfrac{1}{2}, то есть 2^{2\cos 2x}=2^{-1}, откуда \cos 2x=-\dfrac{1}{2}. Тогда 2x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n и x=\pm\dfrac{\pi}{3}+\pi n — две серии: x=\dfrac{\pi}{3}+\pi n и x=\dfrac{2\pi}{3}+\pi n.

Проверим подстановкой x=\dfrac{\pi}{3}: \sin^2\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{3}{4}, значит 16^{3/4}=8 и первое слагаемое 4\cdot 8=32; \cos\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}, значит 4^{-1/2}=\dfrac{1}{2} и вычитаем 6\cdot\dfrac{1}{2}=3. Итого 32-3=29 — сходится.

б) Отрезок \left[\dfrac{3\pi}{2};\ 3\pi\right]. Серия x=\dfrac{\pi}{3}+\pi n: из \dfrac{3\pi}{2}\le\dfrac{\pi}{3}+\pi n\le 3\pi после деления на \pi получаем 1\dfrac{1}{6}\le n\le 2\dfrac{2}{3}. Единственное целое n=2: корень \dfrac{\pi}{3}+2\pi=\dfrac{7\pi}{3}.

Серия x=\dfrac{2\pi}{3}+\pi n: аналогично \dfrac{5}{6}\le n\le 2\dfrac{1}{3}, целые n=1 и n=2: корни \dfrac{2\pi}{3}+\pi=\dfrac{5\pi}{3} и \dfrac{2\pi}{3}+2\pi=\dfrac{8\pi}{3}.

Контроль в третях: \dfrac{3\pi}{2}=\dfrac{4{,}5\pi}{3}, 3\pi=\dfrac{9\pi}{3}, а корни \dfrac{5\pi}{3}, \dfrac{7\pi}{3}, \dfrac{8\pi}{3} — все внутри отрезка. Всё сходится.