Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022243

а) Показатели разные — $\sin^2 x$ и $\cos 2x$, — но их роднит формула понижения степени: $2\sin^2 x=1-\cos 2x$. Поэтому $16^{\sin^2 x}=4^{2\sin^2 x}=4^{1-\cos 2x}=\dfrac{4}{4^{\cos 2x}}$.

Замена $u=4^{\cos 2x}$, $u>0$: уравнение принимает вид $4\cdot\dfrac{4}{u}-6u=29$, то есть $\dfrac{16}{u}-6u=29$. Умножаем на $u$ и собираем всё слева: $6u^2+29u-16=0$.

Дискриминант: $29^2+4\cdot 6\cdot 16=841+384=1225=35^2$. Корни: $u=\dfrac{-29\pm 35}{12}$, то есть $u=\dfrac{1}{2}$ и $u=-\dfrac{16}{3}$. Отрицательный отбрасываем — показательная функция положительна.

Осталось $4^{\cos 2x}=\dfrac{1}{2}$, то есть $2^{2\cos 2x}=2^{-1}$, откуда $\cos 2x=-\dfrac{1}{2}$. Тогда $2x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$ и $x=\pm\dfrac{\pi}{3}+\pi n$ — две серии: $x=\dfrac{\pi}{3}+\pi n$ и $x=\dfrac{2\pi}{3}+\pi n$.

Проверим подстановкой $x=\dfrac{\pi}{3}$: $\sin^2\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{3}{4}$, значит $16^{3/4}=8$ и первое слагаемое $4\cdot 8=32$; $\cos\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}$, значит $4^{-1/2}=\dfrac{1}{2}$ и вычитаем $6\cdot\dfrac{1}{2}=3$. Итого $32-3=29$ — сходится.

б) Отрезок $\left[\dfrac{3\pi}{2};\ 3\pi\right]$. Серия $x=\dfrac{\pi}{3}+\pi n$: из $\dfrac{3\pi}{2}\le\dfrac{\pi}{3}+\pi n\le 3\pi$ после деления на $\pi$ получаем $1\dfrac{1}{6}\le n\le 2\dfrac{2}{3}$. Единственное целое $n=2$: корень $\dfrac{\pi}{3}+2\pi=\dfrac{7\pi}{3}$.

Серия $x=\dfrac{2\pi}{3}+\pi n$: аналогично $\dfrac{5}{6}\le n\le 2\dfrac{1}{3}$, целые $n=1$ и $n=2$: корни $\dfrac{2\pi}{3}+\pi=\dfrac{5\pi}{3}$ и $\dfrac{2\pi}{3}+2\pi=\dfrac{8\pi}{3}$.

Контроль в третях: $\dfrac{3\pi}{2}=\dfrac{4{,}5\pi}{3}$, $3\pi=\dfrac{9\pi}{3}$, а корни $\dfrac{5\pi}{3}$, $\dfrac{7\pi}{3}$, $\dfrac{8\pi}{3}$ — все внутри отрезка. Всё сходится.