а) В показателях два разных зверя: \sin^2 x и \cos 2x. Свяжем их формулой понижения степени: 2\sin^2 x=1-\cos 2x. Тогда 16^{\sin^2 x}=4^{2\sin^2 x}=4^{1-\cos 2x}=\dfrac{4}{4^{\cos 2x}} — обе степени заговорили на одном языке.

Замена u=4^{\cos 2x}, u>0: уравнение принимает вид 8\cdot\dfrac{4}{u}-2u=63, то есть \dfrac{32}{u}-2u=63. Умножаем на u и переносим всё влево: 2u^2+63u-32=0.

Дискриминант: 63^2+4\cdot 2\cdot 32=3969+256=4225=65^2. Корни: u=\dfrac{-63\pm 65}{4}, то есть u=\dfrac{1}{2} и u=-32. Отрицательный корень отбрасываем: степень всегда положительна.

Осталось 4^{\cos 2x}=\dfrac{1}{2}. Записываем обе части через двойку: 2^{2\cos 2x}=2^{-1}, откуда \cos 2x=-\dfrac{1}{2}. Тогда 2x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n, то есть x=\pm\dfrac{\pi}{3}+\pi n. Удобно записать это двумя сериями: x=\dfrac{\pi}{3}+\pi n и x=\dfrac{2\pi}{3}+\pi n.

Проверим подстановкой x=\dfrac{\pi}{3}: \sin^2\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{3}{4}, значит 16^{3/4}=8 и первое слагаемое равно 8\cdot 8=64; далее \cos\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}, значит 4^{-1/2}=\dfrac{1}{2} и вычитаем 2\cdot\dfrac{1}{2}=1. Итого 64-1=63 — сходится.

б) Отрезок \left[\dfrac{7\pi}{2};\ 5\pi\right]. Серия x=\dfrac{\pi}{3}+\pi n: из \dfrac{7\pi}{2}\le\dfrac{\pi}{3}+\pi n\le 5\pi после деления на \pi получаем 3{,}5\le\dfrac{1}{3}+n\le 5, то есть 3\dfrac{1}{6}\le n\le 4\dfrac{2}{3}. Единственное целое n=4: корень \dfrac{\pi}{3}+4\pi=\dfrac{13\pi}{3}.

Серия x=\dfrac{2\pi}{3}+\pi n: аналогично 2\dfrac{5}{6}\le n\le 4\dfrac{1}{3}, целые n=3 и n=4: корни \dfrac{2\pi}{3}+3\pi=\dfrac{11\pi}{3} и \dfrac{2\pi}{3}+4\pi=\dfrac{14\pi}{3}.

Контроль в третях: \dfrac{7\pi}{2}=\dfrac{10{,}5\pi}{3}, 5\pi=\dfrac{15\pi}{3}, а наши корни \dfrac{11\pi}{3}, \dfrac{13\pi}{3}, \dfrac{14\pi}{3} — все внутри. Всё сходится.