Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022242

а) В показателях два разных зверя: $\sin^2 x$ и $\cos 2x$. Свяжем их формулой понижения степени: $2\sin^2 x=1-\cos 2x$. Тогда $16^{\sin^2 x}=4^{2\sin^2 x}=4^{1-\cos 2x}=\dfrac{4}{4^{\cos 2x}}$ — обе степени заговорили на одном языке.

Замена $u=4^{\cos 2x}$, $u>0$: уравнение принимает вид $8\cdot\dfrac{4}{u}-2u=63$, то есть $\dfrac{32}{u}-2u=63$. Умножаем на $u$ и переносим всё влево: $2u^2+63u-32=0$.

Дискриминант: $63^2+4\cdot 2\cdot 32=3969+256=4225=65^2$. Корни: $u=\dfrac{-63\pm 65}{4}$, то есть $u=\dfrac{1}{2}$ и $u=-32$. Отрицательный корень отбрасываем: степень всегда положительна.

Осталось $4^{\cos 2x}=\dfrac{1}{2}$. Записываем обе части через двойку: $2^{2\cos 2x}=2^{-1}$, откуда $\cos 2x=-\dfrac{1}{2}$. Тогда $2x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$, то есть $x=\pm\dfrac{\pi}{3}+\pi n$. Удобно записать это двумя сериями: $x=\dfrac{\pi}{3}+\pi n$ и $x=\dfrac{2\pi}{3}+\pi n$.

Проверим подстановкой $x=\dfrac{\pi}{3}$: $\sin^2\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{3}{4}$, значит $16^{3/4}=8$ и первое слагаемое равно $8\cdot 8=64$; далее $\cos\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}$, значит $4^{-1/2}=\dfrac{1}{2}$ и вычитаем $2\cdot\dfrac{1}{2}=1$. Итого $64-1=63$ — сходится.

б) Отрезок $\left[\dfrac{7\pi}{2};\ 5\pi\right]$. Серия $x=\dfrac{\pi}{3}+\pi n$: из $\dfrac{7\pi}{2}\le\dfrac{\pi}{3}+\pi n\le 5\pi$ после деления на $\pi$ получаем $3{,}5\le\dfrac{1}{3}+n\le 5$, то есть $3\dfrac{1}{6}\le n\le 4\dfrac{2}{3}$. Единственное целое $n=4$: корень $\dfrac{\pi}{3}+4\pi=\dfrac{13\pi}{3}$.

Серия $x=\dfrac{2\pi}{3}+\pi n$: аналогично $2\dfrac{5}{6}\le n\le 4\dfrac{1}{3}$, целые $n=3$ и $n=4$: корни $\dfrac{2\pi}{3}+3\pi=\dfrac{11\pi}{3}$ и $\dfrac{2\pi}{3}+4\pi=\dfrac{14\pi}{3}$.

Контроль в третях: $\dfrac{7\pi}{2}=\dfrac{10{,}5\pi}{3}$, $5\pi=\dfrac{15\pi}{3}$, а наши корни $\dfrac{11\pi}{3}$, $\dfrac{13\pi}{3}$, $\dfrac{14\pi}{3}$ — все внутри. Всё сходится.