а) Смотрим внимательно: 16^{\sin x}=\left(4^{\sin x}\right)^2. Значит, замена t=4^{\sin x}, t>0, превращает уравнение в обычное квадратное: t^2-6t+8=0.

По теореме Виета корни находятся мгновенно: t=2 и t=4 (сумма 6, произведение 8). Оба положительные — оба подходят.

Возвращаемся к синусу через степени двойки: 4^{\sin x}=2^{2\sin x}. Первый случай: 2^{2\sin x}=2^1, откуда \sin x=\dfrac{1}{2}. Второй: 2^{2\sin x}=2^2, откуда \sin x=1.

Из \sin x=\dfrac{1}{2} получаем серии x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n и x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n. Из \sin x=1 — серию x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n.

Проверим подстановкой. При \sin x=\dfrac{1}{2}: 16^{\sin x}=4, 4^{\sin x}=2, тогда 4-12+8=0 — сходится. При \sin x=1: 16-24+8=0 — тоже сходится.

б) Отрезок \left[-5\pi;\ -\dfrac{7\pi}{2}\right] лежит далеко слева от нуля, поэтому в сериях берём отрицательные n. Серия x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n: при n=-2 получаем \dfrac{\pi}{2}-4\pi=-\dfrac{7\pi}{2} — это правый конец отрезка, он включён, берём. При n=-3 будет -\dfrac{11\pi}{2}<-5\pi — вылет.

Серия x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n: при n=-2 получаем \dfrac{\pi}{6}-4\pi=-\dfrac{23\pi}{6}. Сравниваем в шестых долях: -5\pi=-\dfrac{30\pi}{6}, -\dfrac{7\pi}{2}=-\dfrac{21\pi}{6}, и число -\dfrac{23\pi}{6} сидит между ними — берём. При n=-3: -\dfrac{35\pi}{6}<-\dfrac{30\pi}{6} — вылет.

Серия x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n: при n=-2 получаем -\dfrac{19\pi}{6}>-\dfrac{21\pi}{6} — правее отрезка; при n=-3 — -\dfrac{31\pi}{6}<-\dfrac{30\pi}{6} — левее. Ничего.

Итог пункта б: -\dfrac{23\pi}{6} и -\dfrac{7\pi}{2}. Всё сходится.