Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022241

а) Смотрим внимательно: $16^{\sin x}=\left(4^{\sin x}\right)^2$. Значит, замена $t=4^{\sin x}$, $t>0$, превращает уравнение в обычное квадратное: $t^2-6t+8=0$.

По теореме Виета корни находятся мгновенно: $t=2$ и $t=4$ (сумма $6$, произведение $8$). Оба положительные — оба подходят.

Возвращаемся к синусу через степени двойки: $4^{\sin x}=2^{2\sin x}$. Первый случай: $2^{2\sin x}=2^1$, откуда $\sin x=\dfrac{1}{2}$. Второй: $2^{2\sin x}=2^2$, откуда $\sin x=1$.

Из $\sin x=\dfrac{1}{2}$ получаем серии $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ и $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$. Из $\sin x=1$ — серию $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$.

Проверим подстановкой. При $\sin x=\dfrac{1}{2}$: $16^{\sin x}=4$, $4^{\sin x}=2$, тогда $4-12+8=0$ — сходится. При $\sin x=1$: $16-24+8=0$ — тоже сходится.

б) Отрезок $\left[-5\pi;\ -\dfrac{7\pi}{2}\right]$ лежит далеко слева от нуля, поэтому в сериях берём отрицательные $n$. Серия $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$: при $n=-2$ получаем $\dfrac{\pi}{2}-4\pi=-\dfrac{7\pi}{2}$ — это правый конец отрезка, он включён, берём. При $n=-3$ будет $-\dfrac{11\pi}{2}<-5\pi$ — вылет.

Серия $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$: при $n=-2$ получаем $\dfrac{\pi}{6}-4\pi=-\dfrac{23\pi}{6}$. Сравниваем в шестых долях: $-5\pi=-\dfrac{30\pi}{6}$, $-\dfrac{7\pi}{2}=-\dfrac{21\pi}{6}$, и число $-\dfrac{23\pi}{6}$ сидит между ними — берём. При $n=-3$: $-\dfrac{35\pi}{6}<-\dfrac{30\pi}{6}$ — вылет.

Серия $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$: при $n=-2$ получаем $-\dfrac{19\pi}{6}>-\dfrac{21\pi}{6}$ — правее отрезка; при $n=-3$ — $-\dfrac{31\pi}{6}<-\dfrac{30\pi}{6}$ — левее. Ничего.

Итог пункта б: $-\dfrac{23\pi}{6}$ и $-\dfrac{7\pi}{2}$. Всё сходится.