а) Это показательное уравнение с косинусом в показателе. Замечаем: 81^{\cos x}=\left(9^{\cos x}\right)^2, поэтому замена t=9^{\cos x}, t>0, даёт квадратное уравнение 9t^2-28t+3=0.

Дискриминант: 28^2-4\cdot 9\cdot 3=784-108=676=26^2. Корни: t=\dfrac{28\pm 26}{18}, то есть t=3 и t=\dfrac{1}{9}. Оба положительные — берём оба.

Возвращаемся к косинусу: 9^{\cos x}=3^{2\cos x}. Первый случай: 3^{2\cos x}=3^1, откуда 2\cos x=1 и \cos x=\dfrac{1}{2}. Второй: 3^{2\cos x}=3^{-2}, откуда \cos x=-1.

Из \cos x=\dfrac{1}{2}: x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n. Из \cos x=-1: x=\pi+2\pi n.

Проверим подстановкой. При \cos x=\dfrac{1}{2}: 81^{\cos x}=9, 9^{\cos x}=3, тогда 9\cdot 9-28\cdot 3+3=81-84+3=0 — сходится. При \cos x=-1: \dfrac{9}{81}-\dfrac{28}{9}+3=\dfrac{1}{9}-\dfrac{28}{9}+\dfrac{27}{9}=0 — тоже сходится.

б) Отрезок \left[\dfrac{5\pi}{2};\ 4\pi\right]. Серия x=\pi+2\pi n: при n=1 получаем 3\pi, а \dfrac{5\pi}{2}\le 3\pi\le 4\pi — берём. При n=2 будет 5\pi>4\pi — перелёт.

Серия x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n: при n=1 получаем \dfrac{7\pi}{3}<\dfrac{5\pi}{2} (сравните: \dfrac{14\pi}{6}<\dfrac{15\pi}{6}) — недолёт; при n=2 — \dfrac{13\pi}{3}>4\pi=\dfrac{12\pi}{3} — перелёт. Ничего.

Серия x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n: при n=2 получаем \dfrac{11\pi}{3}, а это между \dfrac{5\pi}{2} и 4\pi=\dfrac{12\pi}{3} — берём. Соседние n дают \dfrac{5\pi}{3} (недолёт) и \dfrac{23\pi}{3} (перелёт).

Итог пункта б: 3\pi и \dfrac{11\pi}{3}. Всё сходится.