Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022240

а) Это показательное уравнение с косинусом в показателе. Замечаем: $81^{\cos x}=\left(9^{\cos x}\right)^2$, поэтому замена $t=9^{\cos x}$, $t>0$, даёт квадратное уравнение $9t^2-28t+3=0$.

Дискриминант: $28^2-4\cdot 9\cdot 3=784-108=676=26^2$. Корни: $t=\dfrac{28\pm 26}{18}$, то есть $t=3$ и $t=\dfrac{1}{9}$. Оба положительные — берём оба.

Возвращаемся к косинусу: $9^{\cos x}=3^{2\cos x}$. Первый случай: $3^{2\cos x}=3^1$, откуда $2\cos x=1$ и $\cos x=\dfrac{1}{2}$. Второй: $3^{2\cos x}=3^{-2}$, откуда $\cos x=-1$.

Из $\cos x=\dfrac{1}{2}$: $x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$. Из $\cos x=-1$: $x=\pi+2\pi n$.

Проверим подстановкой. При $\cos x=\dfrac{1}{2}$: $81^{\cos x}=9$, $9^{\cos x}=3$, тогда $9\cdot 9-28\cdot 3+3=81-84+3=0$ — сходится. При $\cos x=-1$: $\dfrac{9}{81}-\dfrac{28}{9}+3=\dfrac{1}{9}-\dfrac{28}{9}+\dfrac{27}{9}=0$ — тоже сходится.

б) Отрезок $\left[\dfrac{5\pi}{2};\ 4\pi\right]$. Серия $x=\pi+2\pi n$: при $n=1$ получаем $3\pi$, а $\dfrac{5\pi}{2}\le 3\pi\le 4\pi$ — берём. При $n=2$ будет $5\pi>4\pi$ — перелёт.

Серия $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$: при $n=1$ получаем $\dfrac{7\pi}{3}<\dfrac{5\pi}{2}$ (сравните: $\dfrac{14\pi}{6}<\dfrac{15\pi}{6}$) — недолёт; при $n=2$ — $\dfrac{13\pi}{3}>4\pi=\dfrac{12\pi}{3}$ — перелёт. Ничего.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$: при $n=2$ получаем $\dfrac{11\pi}{3}$, а это между $\dfrac{5\pi}{2}$ и $4\pi=\dfrac{12\pi}{3}$ — берём. Соседние $n$ дают $\dfrac{5\pi}{3}$ (недолёт) и $\dfrac{23\pi}{3}$ (перелёт).

Итог пункта б: $3\pi$ и $\dfrac{11\pi}{3}$. Всё сходится.