ID: 00022239
Источник: ФИПИ
а) Перед нами показательное уравнение, в котором вместо привычного $x$ в показателе сидит $\sin x$. Ключевое наблюдение: $81^{\sin x}=\left(9^{\sin x}\right)^2$. Делаем замену $t=9^{\sin x}$, где $t>0$: уравнение превращается в квадратное $27t^2-12t+1=0$.
Дискриминант: $144-4\cdot 27=144-108=36$. Корни: $t=\dfrac{12\pm 6}{54}$, то есть $t=\dfrac{1}{3}$ и $t=\dfrac{1}{9}$. Оба положительные — оба годятся.
Возвращаемся к синусу через степени тройки: $9^{\sin x}=3^{2\sin x}$. Первый случай: $3^{2\sin x}=3^{-1}$, откуда $2\sin x=-1$ и $\sin x=-\dfrac{1}{2}$. Второй: $3^{2\sin x}=3^{-2}$, откуда $\sin x=-1$.
Из $\sin x=-\dfrac{1}{2}$ получаем две серии: $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ и $x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$. Из $\sin x=-1$ — серию $x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$.
Проверим подстановкой. При $\sin x=-\dfrac{1}{2}$: $81^{\sin x}=\dfrac{1}{9}$, $9^{\sin x}=\dfrac{1}{3}$, тогда $27\cdot\dfrac{1}{9}-12\cdot\dfrac{1}{3}+1=3-4+1=0$ — сходится. При $\sin x=-1$: $\dfrac{27}{81}-\dfrac{12}{9}+1=\dfrac{1}{3}-\dfrac{4}{3}+1=0$ — тоже сходится.
б) Отрезок $\left[\dfrac{3\pi}{2};\ 3\pi\right]$. Серия $x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$: при $n=1$ получаем $x=\dfrac{3\pi}{2}$ — это левый конец отрезка, он включён, берём. При $n=2$ выйдет $\dfrac{7\pi}{2}>3\pi$ — перелёт.
Серия $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$: при $n=1$ получаем $\dfrac{11\pi}{6}$, а это между $\dfrac{3\pi}{2}=\dfrac{9\pi}{6}$ и $3\pi=\dfrac{18\pi}{6}$ — берём. При $n=2$: $\dfrac{23\pi}{6}>\dfrac{18\pi}{6}$ — перелёт.
Серия $x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$: при $n=1$ получаем $\dfrac{7\pi}{6}<\dfrac{9\pi}{6}$ — недолёт, при $n=2$ — $\dfrac{19\pi}{6}>\dfrac{18\pi}{6}$ — перелёт. Из этой серии ничего.
Итог пункта б: $\dfrac{3\pi}{2}$ и $\dfrac{11\pi}{6}$. Всё сходится.