а) Перед нами показательное уравнение, в котором вместо привычного x в показателе сидит \sin x. Ключевое наблюдение: 81^{\sin x}=\left(9^{\sin x}\right)^2. Делаем замену t=9^{\sin x}, где t>0: уравнение превращается в квадратное 27t^2-12t+1=0.

Дискриминант: 144-4\cdot 27=144-108=36. Корни: t=\dfrac{12\pm 6}{54}, то есть t=\dfrac{1}{3} и t=\dfrac{1}{9}. Оба положительные — оба годятся.

Возвращаемся к синусу через степени тройки: 9^{\sin x}=3^{2\sin x}. Первый случай: 3^{2\sin x}=3^{-1}, откуда 2\sin x=-1 и \sin x=-\dfrac{1}{2}. Второй: 3^{2\sin x}=3^{-2}, откуда \sin x=-1.

Из \sin x=-\dfrac{1}{2} получаем две серии: x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n и x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n. Из \sin x=-1 — серию x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n.

Проверим подстановкой. При \sin x=-\dfrac{1}{2}: 81^{\sin x}=\dfrac{1}{9}, 9^{\sin x}=\dfrac{1}{3}, тогда 27\cdot\dfrac{1}{9}-12\cdot\dfrac{1}{3}+1=3-4+1=0 — сходится. При \sin x=-1: \dfrac{27}{81}-\dfrac{12}{9}+1=\dfrac{1}{3}-\dfrac{4}{3}+1=0 — тоже сходится.

б) Отрезок \left[\dfrac{3\pi}{2};\ 3\pi\right]. Серия x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n: при n=1 получаем x=\dfrac{3\pi}{2} — это левый конец отрезка, он включён, берём. При n=2 выйдет \dfrac{7\pi}{2}>3\pi — перелёт.

Серия x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n: при n=1 получаем \dfrac{11\pi}{6}, а это между \dfrac{3\pi}{2}=\dfrac{9\pi}{6} и 3\pi=\dfrac{18\pi}{6} — берём. При n=2: \dfrac{23\pi}{6}>\dfrac{18\pi}{6} — перелёт.

Серия x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n: при n=1 получаем \dfrac{7\pi}{6}<\dfrac{9\pi}{6} — недолёт, при n=2 — \dfrac{19\pi}{6}>\dfrac{18\pi}{6} — перелёт. Из этой серии ничего.

Итог пункта б: \dfrac{3\pi}{2} и \dfrac{11\pi}{6}. Всё сходится.