Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022238

а) Приводим все степени к основанию $3$: $27^x=3^{3x}$, $28\cdot 3^{x+1}=84\cdot 3^x$, а $3^{5-x}=\dfrac{243}{3^x}$. Уравнение принимает вид $3^{3x}-84\cdot 3^x+\dfrac{243}{3^x}=0$.

Замена $t=3^x$, $t>0$: $t^3-84t+\dfrac{243}{t}=0$. Умножаем на $t$: $t^4-84t^2+243=0$ — биквадратное уравнение.

Пусть $u=t^2$: $u^2-84u+243=0$. Дискриминант: $84^2-4\cdot 243=7056-972=6084=78^2$, корни $u=\dfrac{84\pm 78}{2}$, то есть $u=81$ и $u=3$.

Возвращаемся: $t^2=81$ даёт $t=9$, значит $3^x=3^2$ и $x=2$. А $t^2=3$ даёт $t=\sqrt{3}=3^{0{,}5}$, значит $x=0{,}5$.

Проверяем подстановкой. $x=2$: $729-28\cdot 27+27=729-756+27=0$ — сходится. $x=0{,}5$: $27^{0{,}5}=3\sqrt{3}$, $28\cdot 3^{1{,}5}=84\sqrt{3}$, $3^{4{,}5}=81\sqrt{3}$, итого $3\sqrt{3}-84\sqrt{3}+81\sqrt{3}=0$ — тоже сходится.

б) Отрезок $\left[\sqrt{3};\ \log_2 5\right]$. Проверяем $x=2$: слева $\sqrt{3}<2$, потому что $3<4$; справа $2=\log_2 4<\log_2 5$, потому что $4<5$. Двойка сидит внутри отрезка — подходит.

Проверяем $x=0{,}5$: $0{,}5<\sqrt{3}$, ведь $0{,}25<3$ — корень лежит левее отрезка, не подходит.

Итог пункта б: единственный корень $2$. Всё сходится.