а) Основание здесь одно — тройка: 27^x=3^{3x}, 4\cdot 3^{x+2}=4\cdot 9\cdot 3^x=36\cdot 3^x, а 3^{5-x}=\dfrac{243}{3^x}. Уравнение принимает вид 3^{3x}-36\cdot 3^x+\dfrac{243}{3^x}=0.

Замена t=3^x, t>0: t^3-36t+\dfrac{243}{t}=0. Умножаем на t: t^4-36t^2+243=0 — биквадратное уравнение.

Пусть u=t^2: u^2-36u+243=0. Дискриминант: 1296-4\cdot 243=1296-972=324=18^2, корни u=\dfrac{36\pm 18}{2}, то есть u=27 и u=9.

Возвращаемся: t^2=9 даёт t=3, значит 3^x=3 и x=1. А t^2=27 даёт t=3\sqrt{3}=3^{1{,}5}, значит x=1{,}5.

Проверяем подстановкой. x=1: 27-4\cdot 27+81=27-108+81=0 — сходится. x=1{,}5: 27^{1{,}5}=81\sqrt{3}, 4\cdot 3^{3{,}5}=108\sqrt{3}, 3^{3{,}5}=27\sqrt{3}, итого 81\sqrt{3}-108\sqrt{3}+27\sqrt{3}=0 — тоже сходится.

б) Отрезок \left[\log_7 4;\ \log_7 16\right]. Проверяем x=1: запишем 1=\log_7 7. Так как 4<7<16, корень сидит строго внутри отрезка — подходит.

Проверяем x=1{,}5: запишем 1{,}5=\log_7 7^{1{,}5}=\log_7\sqrt{343}. Сравниваем \sqrt{343} и 16: возводим в квадрат, 343>256, значит \sqrt{343}>16 и 1{,}5>\log_7 16 — вылетает за правый край.

Итог пункта б: единственный корень 1. Всё сходится.