ID: 00022237
Источник: ФИПИ
а) Основание здесь одно — тройка: $27^x=3^{3x}$, $4\cdot 3^{x+2}=4\cdot 9\cdot 3^x=36\cdot 3^x$, а $3^{5-x}=\dfrac{243}{3^x}$. Уравнение принимает вид $3^{3x}-36\cdot 3^x+\dfrac{243}{3^x}=0$.
Замена $t=3^x$, $t>0$: $t^3-36t+\dfrac{243}{t}=0$. Умножаем на $t$: $t^4-36t^2+243=0$ — биквадратное уравнение.
Пусть $u=t^2$: $u^2-36u+243=0$. Дискриминант: $1296-4\cdot 243=1296-972=324=18^2$, корни $u=\dfrac{36\pm 18}{2}$, то есть $u=27$ и $u=9$.
Возвращаемся: $t^2=9$ даёт $t=3$, значит $3^x=3$ и $x=1$. А $t^2=27$ даёт $t=3\sqrt{3}=3^{1{,}5}$, значит $x=1{,}5$.
Проверяем подстановкой. $x=1$: $27-4\cdot 27+81=27-108+81=0$ — сходится. $x=1{,}5$: $27^{1{,}5}=81\sqrt{3}$, $4\cdot 3^{3{,}5}=108\sqrt{3}$, $3^{3{,}5}=27\sqrt{3}$, итого $81\sqrt{3}-108\sqrt{3}+27\sqrt{3}=0$ — тоже сходится.
б) Отрезок $\left[\log_7 4;\ \log_7 16\right]$. Проверяем $x=1$: запишем $1=\log_7 7$. Так как $4<7<16$, корень сидит строго внутри отрезка — подходит.
Проверяем $x=1{,}5$: запишем $1{,}5=\log_7 7^{1{,}5}=\log_7\sqrt{343}$. Сравниваем $\sqrt{343}$ и $16$: возводим в квадрат, $343>256$, значит $\sqrt{343}>16$ и $1{,}5>\log_7 16$ — вылетает за правый край.
Итог пункта б: единственный корень $1$. Всё сходится.