Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022236

а) Всё уравнение живёт на степенях двойки, приводим к одному основанию: $8^x=2^{3x}$, $9\cdot 2^{x+1}=18\cdot 2^x$, а $2^{5-x}=\dfrac{32}{2^x}$. Получаем $2^{3x}-18\cdot 2^x+\dfrac{32}{2^x}=0$.

Замена $t=2^x$, $t>0$: $t^3-18t+\dfrac{32}{t}=0$. Умножаем на $t$: $t^4-18t^2+32=0$ — биквадратное уравнение.

Пусть $u=t^2$: $u^2-18u+32=0$. Дискриминант: $324-128=196=14^2$, корни $u=\dfrac{18\pm 14}{2}$, то есть $u=16$ и $u=2$.

Возвращаемся: $t^2=16$ даёт $t=4$ ($t>0$), значит $2^x=4=2^2$ и $x=2$. А $t^2=2$ даёт $t=\sqrt{2}=2^{0{,}5}$, значит $x=0{,}5$.

Проверяем подстановкой. $x=2$: $64-9\cdot 8+2^3=64-72+8=0$ — сходится. $x=0{,}5$: $8^{0{,}5}=2\sqrt{2}$, $9\cdot 2^{1{,}5}=18\sqrt{2}$, $2^{4{,}5}=16\sqrt{2}$, итого $2\sqrt{2}-18\sqrt{2}+16\sqrt{2}=0$ — тоже сходится.

б) Отрезок $\left[\log_5 2;\ \log_5 20\right]$. Удобно и корни записать как логарифмы по основанию $5$: $0{,}5=\log_5\sqrt{5}$ и $2=\log_5 25$.

Проверяем $x=0{,}5$: так как $2<\sqrt{5}$ (ведь $4<5$), то $\log_5 2<0{,}5$; и так как $\sqrt{5}<20$, то $0{,}5<\log_5 20$. Корень внутри отрезка.

Проверяем $x=2$: $2=\log_5 25>\log_5 20$, потому что $25>20$ — вылетает за правый край. Итог пункта б: единственный корень $0{,}5$. Всё сходится.