а) Приводим все степени к одному основанию 2: 8^x=2^{3x}, дальше 3\cdot 2^{x+2}=3\cdot 4\cdot 2^x=12\cdot 2^x, и наконец 2^{5-x}=\dfrac{32}{2^x}. Уравнение превращается в 2^{3x}-12\cdot 2^x+\dfrac{32}{2^x}=0.

Делаем замену t=2^x, где t>0: t^3-12t+\dfrac{32}{t}=0. Умножаем обе части на t (это законно, ведь t\ne 0): t^4-12t^2+32=0 — биквадратное уравнение.

Пусть u=t^2: u^2-12u+32=0. Дискриминант: 144-4\cdot 32=144-128=16, корни u=\dfrac{12\pm 4}{2}, то есть u=8 и u=4. Оба положительные — оба в деле.

Возвращаемся к t: из t^2=4 берём t=2 (минус отбрасываем, t>0), из t^2=8 берём t=2\sqrt{2}=2^{1{,}5}. Тогда 2^x=2 даёт x=1, а 2^x=2^{1{,}5} даёт x=1{,}5.

Проверяем подстановкой. x=1: 8-3\cdot 8+2^4=8-24+16=0 — сходится. x=1{,}5: 8^{1{,}5}=16\sqrt{2}, 3\cdot 2^{3{,}5}=24\sqrt{2}, 2^{3{,}5}=8\sqrt{2}, итого 16\sqrt{2}-24\sqrt{2}+8\sqrt{2}=0 — тоже сходится.

б) Отрезок \left[\log_4 5;\ \sqrt{3}\right]. Проверяем x=1: так как 5>4, то \log_4 5>\log_4 4=1. Значит единица лежит левее отрезка — не подходит.

Проверяем x=1{,}5: слева \log_4 5<\log_4 8=1{,}5, потому что 5<8; справа 1{,}5=\sqrt{2{,}25}<\sqrt{3}, потому что 2{,}25<3. Обе границы пройдены — корень 1{,}5 в отрезке.

Итог пункта б: единственный корень 1{,}5. Всё сходится.