ID: 00022235
Источник: ФИПИ
а) Приводим все степени к одному основанию $2$: $8^x=2^{3x}$, дальше $3\cdot 2^{x+2}=3\cdot 4\cdot 2^x=12\cdot 2^x$, и наконец $2^{5-x}=\dfrac{32}{2^x}$. Уравнение превращается в $2^{3x}-12\cdot 2^x+\dfrac{32}{2^x}=0$.
Делаем замену $t=2^x$, где $t>0$: $t^3-12t+\dfrac{32}{t}=0$. Умножаем обе части на $t$ (это законно, ведь $t\ne 0$): $t^4-12t^2+32=0$ — биквадратное уравнение.
Пусть $u=t^2$: $u^2-12u+32=0$. Дискриминант: $144-4\cdot 32=144-128=16$, корни $u=\dfrac{12\pm 4}{2}$, то есть $u=8$ и $u=4$. Оба положительные — оба в деле.
Возвращаемся к $t$: из $t^2=4$ берём $t=2$ (минус отбрасываем, $t>0$), из $t^2=8$ берём $t=2\sqrt{2}=2^{1{,}5}$. Тогда $2^x=2$ даёт $x=1$, а $2^x=2^{1{,}5}$ даёт $x=1{,}5$.
Проверяем подстановкой. $x=1$: $8-3\cdot 8+2^4=8-24+16=0$ — сходится. $x=1{,}5$: $8^{1{,}5}=16\sqrt{2}$, $3\cdot 2^{3{,}5}=24\sqrt{2}$, $2^{3{,}5}=8\sqrt{2}$, итого $16\sqrt{2}-24\sqrt{2}+8\sqrt{2}=0$ — тоже сходится.
б) Отрезок $\left[\log_4 5;\ \sqrt{3}\right]$. Проверяем $x=1$: так как $5>4$, то $\log_4 5>\log_4 4=1$. Значит единица лежит левее отрезка — не подходит.
Проверяем $x=1{,}5$: слева $\log_4 5<\log_4 8=1{,}5$, потому что $5<8$; справа $1{,}5=\sqrt{2{,}25}<\sqrt{3}$, потому что $2{,}25<3$. Обе границы пройдены — корень $1{,}5$ в отрезке.
Итог пункта б: единственный корень $1{,}5$. Всё сходится.