ID: 00022234
Источник: ФИПИ
а) В уравнении сидят два квадрата тригонометрических функций — это верный сигнал понижать степень. Вспоминаем формулы: $\cos^2 x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}$ и $\sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos 2\alpha}{2}$. Во втором слагаемом $\alpha=x-\dfrac{\pi}{4}$, значит $2\alpha=2x-\dfrac{\pi}{2}$, а по формуле приведения $\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin 2x$.
Подставляем всё в уравнение: $\dfrac{1+\cos 2x}{2}+\dfrac{1-\sin 2x}{2}=\dfrac{1}{2}$. Умножаем обе части на $2$: $1+\cos 2x+1-\sin 2x=1$, откуда $\cos 2x-\sin 2x=-1$.
Слева — классическая разность «косинус минус синус» одного угла. Сворачиваем её методом вспомогательного угла: $\cos 2x-\sin 2x=\sqrt{2}\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)$. Получаем $\sqrt{2}\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)=-1$, то есть $\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Снимаем косинус: $2x+\dfrac{\pi}{4}=\pm\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$. Со знаком «плюс»: $2x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$, значит $x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n$. Со знаком «минус»: $2x=-\pi+2\pi n$, значит $x=-\dfrac{\pi}{2}+\pi n$ — это та же серия, что и $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$: точки идут с шагом $\pi$.
Проверим подстановкой. При $x=\dfrac{\pi}{4}$: $\cos^2\dfrac{\pi}{4}+\sin^2 0=\dfrac{1}{2}+0=\dfrac{1}{2}$ — сходится. При $x=\dfrac{\pi}{2}$: $0+\sin^2\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{2}$ — тоже сходится.
б) Отбираем корни на отрезке $[5\pi;\ 6\pi]$ через двойное неравенство. Серия $x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n$: из $5\pi\le\dfrac{\pi}{4}+\pi n\le 6\pi$ делим всё на $\pi$: $4{,}75\le n\le 5{,}75$. Единственное целое $n=5$, корень $x=\dfrac{\pi}{4}+5\pi=\dfrac{21\pi}{4}$.
Серия $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$: из $5\pi\le\dfrac{\pi}{2}+\pi n\le 6\pi$ получаем $4{,}5\le n\le 5{,}5$, снова только $n=5$, корень $x=\dfrac{\pi}{2}+5\pi=\dfrac{11\pi}{2}$.
Контроль отбора: $\dfrac{21\pi}{4}=5{,}25\pi$ и $\dfrac{11\pi}{2}=5{,}5\pi$ — оба между $5\pi$ и $6\pi$. Всё сходится.