а) В уравнении сидят два квадрата тригонометрических функций — это верный сигнал понижать степень. Вспоминаем формулы: \cos^2 x=\dfrac{1+\cos 2x}{2} и \sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos 2\alpha}{2}. Во втором слагаемом \alpha=x-\dfrac{\pi}{4}, значит 2\alpha=2x-\dfrac{\pi}{2}, а по формуле приведения \cos\left(2x-\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin 2x.

Подставляем всё в уравнение: \dfrac{1+\cos 2x}{2}+\dfrac{1-\sin 2x}{2}=\dfrac{1}{2}. Умножаем обе части на 2: 1+\cos 2x+1-\sin 2x=1, откуда \cos 2x-\sin 2x=-1.

Слева — классическая разность «косинус минус синус» одного угла. Сворачиваем её методом вспомогательного угла: \cos 2x-\sin 2x=\sqrt{2}\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right). Получаем \sqrt{2}\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)=-1, то есть \cos\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Снимаем косинус: 2x+\dfrac{\pi}{4}=\pm\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n. Со знаком «плюс»: 2x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n, значит x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n. Со знаком «минус»: 2x=-\pi+2\pi n, значит x=-\dfrac{\pi}{2}+\pi n — это та же серия, что и x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n: точки идут с шагом \pi.

Проверим подстановкой. При x=\dfrac{\pi}{4}: \cos^2\dfrac{\pi}{4}+\sin^2 0=\dfrac{1}{2}+0=\dfrac{1}{2} — сходится. При x=\dfrac{\pi}{2}: 0+\sin^2\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{2} — тоже сходится.

б) Отбираем корни на отрезке [5\pi;\ 6\pi] через двойное неравенство. Серия x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n: из 5\pi\le\dfrac{\pi}{4}+\pi n\le 6\pi делим всё на \pi: 4{,}75\le n\le 5{,}75. Единственное целое n=5, корень x=\dfrac{\pi}{4}+5\pi=\dfrac{21\pi}{4}.

Серия x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n: из 5\pi\le\dfrac{\pi}{2}+\pi n\le 6\pi получаем 4{,}5\le n\le 5{,}5, снова только n=5, корень x=\dfrac{\pi}{2}+5\pi=\dfrac{11\pi}{2}.

Контроль отбора: \dfrac{21\pi}{4}=5{,}25\pi и \dfrac{11\pi}{2}=5{,}5\pi — оба между 5\pi и 6\pi. Всё сходится.