а) Раскрываем синус суммы на двойном угле: 2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)=2\left(\sin 2x\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\cos 2x\cdot\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x.

Подставляем: \sin x+\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x=\sqrt{3}\sin 2x+1. Слагаемое \sqrt{3}\sin 2x сокращается: \sin x+\cos 2x-1=0.

Рядом живёт \sin x, поэтому двойной угол берём в «синусной» форме \cos 2x=1-2\sin^2 x: \sin x+1-2\sin^2 x-1=0, то есть \sin x-2\sin^2 x=0.

Выносим \sin x: \sin x(1-2\sin x)=0.

Первый случай: \sin x=0, откуда x=\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Второй: \sin x=\dfrac{1}{2}, откуда x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n или x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Проверим x=\dfrac{\pi}{6}: слева \sin\dfrac{\pi}{6}+2\sin\left(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}+2\sin\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{1}{2}+2=\dfrac{5}{2}, справа \sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+1=\dfrac{3}{2}+1=\dfrac{5}{2}. Всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке \left[-\dfrac{7\pi}{2};\ -2\pi\right].

Серия x=\pi n: из -\dfrac{7\pi}{2}\le\pi n\le-2\pi получаем -\dfrac{7}{2}\le n\le-2. Целые n=-3 и n=-2: корни x=-3\pi и x=-2\pi (правый конец входит).

Серия x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n: из -\dfrac{7\pi}{2}\le\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\le-2\pi получаем -\dfrac{11}{6}\le n\le-\dfrac{13}{12} — целых нет, серия мимо.

Серия x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n: из -\dfrac{7\pi}{2}\le\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n\le-2\pi получаем -\dfrac{13}{6}\le n\le-\dfrac{17}{12}. Целое одно: n=-2, корень x=\dfrac{5\pi}{6}-4\pi=-\dfrac{19\pi}{6}.

Итого по возрастанию: -\dfrac{19\pi}{6}, -3\pi, -2\pi — все на отрезке. Всё сходится.