Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022233

а) Раскрываем синус суммы на двойном угле: $2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)=2\left(\sin 2x\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\cos 2x\cdot\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x$.

Подставляем: $\sin x+\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x=\sqrt{3}\sin 2x+1$. Слагаемое $\sqrt{3}\sin 2x$ сокращается: $\sin x+\cos 2x-1=0$.

Рядом живёт $\sin x$, поэтому двойной угол берём в «синусной» форме $\cos 2x=1-2\sin^2 x$: $\sin x+1-2\sin^2 x-1=0$, то есть $\sin x-2\sin^2 x=0$.

Выносим $\sin x$: $\sin x(1-2\sin x)=0$.

Первый случай: $\sin x=0$, откуда $x=\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Второй: $\sin x=\dfrac{1}{2}$, откуда $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ или $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Проверим $x=\dfrac{\pi}{6}$: слева $\sin\dfrac{\pi}{6}+2\sin\left(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}+2\sin\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{1}{2}+2=\dfrac{5}{2}$, справа $\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+1=\dfrac{3}{2}+1=\dfrac{5}{2}$. Всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке $\left[-\dfrac{7\pi}{2};\ -2\pi\right]$.

Серия $x=\pi n$: из $-\dfrac{7\pi}{2}\le\pi n\le-2\pi$ получаем $-\dfrac{7}{2}\le n\le-2$. Целые $n=-3$ и $n=-2$: корни $x=-3\pi$ и $x=-2\pi$ (правый конец входит).

Серия $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$: из $-\dfrac{7\pi}{2}\le\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\le-2\pi$ получаем $-\dfrac{11}{6}\le n\le-\dfrac{13}{12}$ — целых нет, серия мимо.

Серия $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$: из $-\dfrac{7\pi}{2}\le\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n\le-2\pi$ получаем $-\dfrac{13}{6}\le n\le-\dfrac{17}{12}$. Целое одно: $n=-2$, корень $x=\dfrac{5\pi}{6}-4\pi=-\dfrac{19\pi}{6}$.

Итого по возрастанию: $-\dfrac{19\pi}{6}$, $-3\pi$, $-2\pi$ — все на отрезке. Всё сходится.