Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022232

а) Здесь синус суммы сидит на двойном угле — раскрываем так же, как обычно: $2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)=2\left(\sin 2x\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\cos 2x\cdot\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x$.

Подставляем: $\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x-\cos x=\sqrt{3}\sin 2x-1$. Громоздкое $\sqrt{3}\sin 2x$ сокращается — ради этого всё и затевалось: $\cos 2x-\cos x+1=0$.

Берём «косинусную» форму двойного угла $\cos 2x=2\cos^2 x-1$: $2\cos^2 x-1-\cos x+1=0$, то есть $2\cos^2 x-\cos x=0$.

Выносим $\cos x$: $\cos x(2\cos x-1)=0$.

Первый случай: $\cos x=0$, откуда $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Второй: $\cos x=\dfrac{1}{2}$, откуда $x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Проверим $x=\dfrac{\pi}{2}$: слева $2\sin\left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)-\cos\dfrac{\pi}{2}=2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)-0=-1$, справа $\sqrt{3}\sin\pi-1=0-1=-1$. Всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке $\left[\dfrac{5\pi}{2};\ 4\pi\right]$.

Серия $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$: из $\dfrac{5\pi}{2}\le\dfrac{\pi}{2}+\pi n\le 4\pi$ получаем $2\le n\le\dfrac{7}{2}$. Целые $n=2$ и $n=3$: корни $x=\dfrac{5\pi}{2}$ (левый конец входит) и $x=\dfrac{7\pi}{2}$.

Серия $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$: из $\dfrac{5\pi}{2}\le\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\le 4\pi$ получаем $\dfrac{13}{12}\le n\le\dfrac{11}{6}$ — целых нет, серия мимо.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$: из $\dfrac{5\pi}{2}\le-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\le 4\pi$ получаем $\dfrac{17}{12}\le n\le\dfrac{13}{6}$. Целое одно: $n=2$, корень $x=-\dfrac{\pi}{3}+4\pi=\dfrac{11\pi}{3}$.

Итого по возрастанию: $\dfrac{5\pi}{2}$, $\dfrac{7\pi}{2}$, $\dfrac{11\pi}{3}$ — все на отрезке. Всё сходится.