а) Здесь синус суммы сидит на двойном угле — раскрываем так же, как обычно: 2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)=2\left(\sin 2x\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\cos 2x\cdot\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x.

Подставляем: \sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x-\cos x=\sqrt{3}\sin 2x-1. Громоздкое \sqrt{3}\sin 2x сокращается — ради этого всё и затевалось: \cos 2x-\cos x+1=0.

Берём «косинусную» форму двойного угла \cos 2x=2\cos^2 x-1: 2\cos^2 x-1-\cos x+1=0, то есть 2\cos^2 x-\cos x=0.

Выносим \cos x: \cos x(2\cos x-1)=0.

Первый случай: \cos x=0, откуда x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Второй: \cos x=\dfrac{1}{2}, откуда x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Проверим x=\dfrac{\pi}{2}: слева 2\sin\left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)-\cos\dfrac{\pi}{2}=2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)-0=-1, справа \sqrt{3}\sin\pi-1=0-1=-1. Всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке \left[\dfrac{5\pi}{2};\ 4\pi\right].

Серия x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n: из \dfrac{5\pi}{2}\le\dfrac{\pi}{2}+\pi n\le 4\pi получаем 2\le n\le\dfrac{7}{2}. Целые n=2 и n=3: корни x=\dfrac{5\pi}{2} (левый конец входит) и x=\dfrac{7\pi}{2}.

Серия x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n: из \dfrac{5\pi}{2}\le\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\le 4\pi получаем \dfrac{13}{12}\le n\le\dfrac{11}{6} — целых нет, серия мимо.

Серия x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n: из \dfrac{5\pi}{2}\le-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\le 4\pi получаем \dfrac{17}{12}\le n\le\dfrac{13}{6}. Целое одно: n=2, корень x=-\dfrac{\pi}{3}+4\pi=\dfrac{11\pi}{3}.

Итого по возрастанию: \dfrac{5\pi}{2}, \dfrac{7\pi}{2}, \dfrac{11\pi}{3} — все на отрезке. Всё сходится.