Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022231

а) Раскрываем синус суммы: $2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=2\left(\sin x\cdot\dfrac{1}{2}+\cos x\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\sin x+\sqrt{3}\cos x$.

Подставляем: $\sin x+\sqrt{3}\cos x-\sqrt{3}\cos 2x=\sin x+\sqrt{3}$. Синусы сокращаются: $\sqrt{3}\cos x-\sqrt{3}\cos 2x-\sqrt{3}=0$. Делим на $\sqrt{3}$: $\cos x-\cos 2x-1=0$.

Раз всё вокруг косинуса, берём $\cos 2x=2\cos^2 x-1$: $\cos x-2\cos^2 x+1-1=0$, то есть $\cos x-2\cos^2 x=0$.

Выносим $\cos x$: $\cos x(1-2\cos x)=0$.

Первый случай: $\cos x=0$, откуда $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Второй: $\cos x=\dfrac{1}{2}$, откуда $x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Проверим $x=\dfrac{\pi}{3}$: слева $2\sin\dfrac{2\pi}{3}-\sqrt{3}\cos\dfrac{2\pi}{3}=2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$, справа $\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$. Всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке $\left[-2\pi;\ -\dfrac{\pi}{2}\right]$.

Серия $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$: из $-2\pi\le\dfrac{\pi}{2}+\pi n\le-\dfrac{\pi}{2}$ получаем $-\dfrac{5}{2}\le n\le-1$. Целые $n=-2$ и $n=-1$: корни $x=-\dfrac{3\pi}{2}$ и $x=-\dfrac{\pi}{2}$ (правый конец входит).

Серия $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$: из $-2\pi\le\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\le-\dfrac{\pi}{2}$ получаем $-\dfrac{7}{6}\le n\le-\dfrac{5}{12}$. Целое одно: $n=-1$, корень $x=\dfrac{\pi}{3}-2\pi=-\dfrac{5\pi}{3}$.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$: из $-2\pi\le-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\le-\dfrac{\pi}{2}$ получаем $-\dfrac{5}{6}\le n\le-\dfrac{1}{12}$ — целых нет.

Итого по возрастанию: $-\dfrac{5\pi}{3}$, $-\dfrac{3\pi}{2}$, $-\dfrac{\pi}{2}$ — все на отрезке. Всё сходится.