а) Раскрываем синус суммы: 2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=2\left(\sin x\cdot\dfrac{1}{2}+\cos x\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\sin x+\sqrt{3}\cos x.

Подставляем: \sin x+\sqrt{3}\cos x-\sqrt{3}\cos 2x=\sin x+\sqrt{3}. Синусы сокращаются: \sqrt{3}\cos x-\sqrt{3}\cos 2x-\sqrt{3}=0. Делим на \sqrt{3}: \cos x-\cos 2x-1=0.

Раз всё вокруг косинуса, берём \cos 2x=2\cos^2 x-1: \cos x-2\cos^2 x+1-1=0, то есть \cos x-2\cos^2 x=0.

Выносим \cos x: \cos x(1-2\cos x)=0.

Первый случай: \cos x=0, откуда x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Второй: \cos x=\dfrac{1}{2}, откуда x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Проверим x=\dfrac{\pi}{3}: слева 2\sin\dfrac{2\pi}{3}-\sqrt{3}\cos\dfrac{2\pi}{3}=2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}, справа \dfrac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}. Всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке \left[-2\pi;\ -\dfrac{\pi}{2}\right].

Серия x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n: из -2\pi\le\dfrac{\pi}{2}+\pi n\le-\dfrac{\pi}{2} получаем -\dfrac{5}{2}\le n\le-1. Целые n=-2 и n=-1: корни x=-\dfrac{3\pi}{2} и x=-\dfrac{\pi}{2} (правый конец входит).

Серия x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n: из -2\pi\le\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\le-\dfrac{\pi}{2} получаем -\dfrac{7}{6}\le n\le-\dfrac{5}{12}. Целое одно: n=-1, корень x=\dfrac{\pi}{3}-2\pi=-\dfrac{5\pi}{3}.

Серия x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n: из -2\pi\le-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\le-\dfrac{\pi}{2} получаем -\dfrac{5}{6}\le n\le-\dfrac{1}{12} — целых нет.

Итого по возрастанию: -\dfrac{5\pi}{3}, -\dfrac{3\pi}{2}, -\dfrac{\pi}{2} — все на отрезке. Всё сходится.