а) Раскрываем синус суммы: 2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=2\left(\sin x\cdot\dfrac{1}{2}+\cos x\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\sin x+\sqrt{3}\cos x.

Подставляем: \sin x+\sqrt{3}\cos x+\cos 2x=\sqrt{3}\cos x+1. Слагаемое \sqrt{3}\cos x есть с обеих сторон — сокращаем: \sin x+\cos 2x-1=0.

Косинус двойного угла берём в «синусной» форме, раз рядом стоит \sin x: \cos 2x=1-2\sin^2 x. Тогда \sin x+1-2\sin^2 x-1=0, то есть \sin x-2\sin^2 x=0.

Выносим \sin x: \sin x(1-2\sin x)=0.

Первый случай: \sin x=0, откуда x=\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Второй: \sin x=\dfrac{1}{2}, откуда x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n или x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Проверим x=\dfrac{\pi}{6}: слева 2\sin\dfrac{\pi}{2}+\cos\dfrac{\pi}{3}=2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}, справа \sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+1=\dfrac{3}{2}+1=\dfrac{5}{2}. Всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке \left[-3\pi;\ -\dfrac{3\pi}{2}\right].

Серия x=\pi n: из -3\pi\le\pi n\le-\dfrac{3\pi}{2} получаем -3\le n\le-\dfrac{3}{2}. Целые n=-3 и n=-2: корни x=-3\pi (левый конец входит) и x=-2\pi.

Серия x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n: из -3\pi\le\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\le-\dfrac{3\pi}{2} получаем -\dfrac{19}{12}\le n\le-\dfrac{5}{6}. Целое одно: n=-1, корень x=\dfrac{\pi}{6}-2\pi=-\dfrac{11\pi}{6}.

Серия x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n: из -3\pi\le\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n\le-\dfrac{3\pi}{2} получаем -\dfrac{23}{12}\le n\le-\dfrac{7}{6} — целых нет, серия мимо.

Итого по возрастанию: -3\pi, -2\pi, -\dfrac{11\pi}{6} — все на отрезке. Всё сходится.