Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022230

а) Раскрываем синус суммы: $2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=2\left(\sin x\cdot\dfrac{1}{2}+\cos x\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\sin x+\sqrt{3}\cos x$.

Подставляем: $\sin x+\sqrt{3}\cos x+\cos 2x=\sqrt{3}\cos x+1$. Слагаемое $\sqrt{3}\cos x$ есть с обеих сторон — сокращаем: $\sin x+\cos 2x-1=0$.

Косинус двойного угла берём в «синусной» форме, раз рядом стоит $\sin x$: $\cos 2x=1-2\sin^2 x$. Тогда $\sin x+1-2\sin^2 x-1=0$, то есть $\sin x-2\sin^2 x=0$.

Выносим $\sin x$: $\sin x(1-2\sin x)=0$.

Первый случай: $\sin x=0$, откуда $x=\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Второй: $\sin x=\dfrac{1}{2}$, откуда $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ или $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Проверим $x=\dfrac{\pi}{6}$: слева $2\sin\dfrac{\pi}{2}+\cos\dfrac{\pi}{3}=2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$, справа $\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+1=\dfrac{3}{2}+1=\dfrac{5}{2}$. Всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке $\left[-3\pi;\ -\dfrac{3\pi}{2}\right]$.

Серия $x=\pi n$: из $-3\pi\le\pi n\le-\dfrac{3\pi}{2}$ получаем $-3\le n\le-\dfrac{3}{2}$. Целые $n=-3$ и $n=-2$: корни $x=-3\pi$ (левый конец входит) и $x=-2\pi$.

Серия $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$: из $-3\pi\le\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\le-\dfrac{3\pi}{2}$ получаем $-\dfrac{19}{12}\le n\le-\dfrac{5}{6}$. Целое одно: $n=-1$, корень $x=\dfrac{\pi}{6}-2\pi=-\dfrac{11\pi}{6}$.

Серия $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$: из $-3\pi\le\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n\le-\dfrac{3\pi}{2}$ получаем $-\dfrac{23}{12}\le n\le-\dfrac{7}{6}$ — целых нет, серия мимо.

Итого по возрастанию: $-3\pi$, $-2\pi$, $-\dfrac{11\pi}{6}$ — все на отрезке. Всё сходится.