а) Раскрываем синус суммы: \sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(\sin x\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\cos x\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sin x+\cos x — множитель \sqrt{2} как раз гасит знаменатели.

Уравнение: 2\sin^2 x+\sin x+\cos x=\cos x. Косинусы взаимно уничтожаются, остаётся короткое 2\sin^2 x+\sin x=0.

Выносим \sin x (делить на него нельзя — потеряем корни): \sin x(2\sin x+1)=0.

Первый случай: \sin x=0, откуда x=\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Второй: \sin x=-\dfrac{1}{2}, откуда x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n или x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Проверим x=\pi: слева 2\cdot 0+\sqrt{2}\sin\dfrac{5\pi}{4}=\sqrt{2}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=-1, справа \cos\pi=-1. Всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке \left[-2\pi;\ -\dfrac{\pi}{2}\right].

Серия x=\pi n: из -2\pi\le\pi n\le-\dfrac{\pi}{2} получаем -2\le n\le-\dfrac{1}{2}. Целые n=-2 и n=-1: корни x=-2\pi (левый конец входит) и x=-\pi.

Серия x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n: из -2\pi\le-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\le-\dfrac{\pi}{2} получаем -\dfrac{11}{12}\le n\le-\dfrac{1}{6} — целых нет.

Серия x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n: из -2\pi\le-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n\le-\dfrac{\pi}{2} получаем -\dfrac{7}{12}\le n\le\dfrac{1}{6}. Целое одно: n=0, корень x=-\dfrac{5\pi}{6}.

Итого по возрастанию: -2\pi, -\pi, -\dfrac{5\pi}{6} — все на отрезке. Всё сходится.