Показательны… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00022229

а) Раскрываем синус суммы: $\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(\sin x\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\cos x\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sin x+\cos x$ — множитель $\sqrt{2}$ как раз гасит знаменатели.

Уравнение: $2\sin^2 x+\sin x+\cos x=\cos x$. Косинусы взаимно уничтожаются, остаётся короткое $2\sin^2 x+\sin x=0$.

Выносим $\sin x$ (делить на него нельзя — потеряем корни): $\sin x(2\sin x+1)=0$.

Первый случай: $\sin x=0$, откуда $x=\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Второй: $\sin x=-\dfrac{1}{2}$, откуда $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ или $x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Проверим $x=\pi$: слева $2\cdot 0+\sqrt{2}\sin\dfrac{5\pi}{4}=\sqrt{2}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=-1$, справа $\cos\pi=-1$. Всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке $\left[-2\pi;\ -\dfrac{\pi}{2}\right]$.

Серия $x=\pi n$: из $-2\pi\le\pi n\le-\dfrac{\pi}{2}$ получаем $-2\le n\le-\dfrac{1}{2}$. Целые $n=-2$ и $n=-1$: корни $x=-2\pi$ (левый конец входит) и $x=-\pi$.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$: из $-2\pi\le-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\le-\dfrac{\pi}{2}$ получаем $-\dfrac{11}{12}\le n\le-\dfrac{1}{6}$ — целых нет.

Серия $x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$: из $-2\pi\le-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n\le-\dfrac{\pi}{2}$ получаем $-\dfrac{7}{12}\le n\le\dfrac{1}{6}$. Целое одно: $n=0$, корень $x=-\dfrac{5\pi}{6}$.

Итого по возрастанию: $-2\pi$, $-\pi$, $-\dfrac{5\pi}{6}$ — все на отрезке. Всё сходится.