а) Раскрываем синус суммы: \sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(\sin x\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\cos x\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sin x+\cos x, потому что \sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=1. Красиво: корень \sqrt{2} в условии стоял именно для этого.

Уравнение превращается в \sin x+\cos x+2\sin^2 x=\sin x+2. Синусы сокращаются: \cos x+2\sin^2 x-2=0.

Замечаем: 2\sin^2 x-2=-2(1-\sin^2 x)=-2\cos^2 x. Получаем \cos x-2\cos^2 x=0 — выносим \cos x: \cos x(1-2\cos x)=0.

Первый случай: \cos x=0, откуда x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Второй: \cos x=\dfrac{1}{2}, откуда x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n, n\in\mathbb{Z} — косинус даёт две симметричные серии.

Проверим x=\dfrac{\pi}{2}: слева \sqrt{2}\sin\dfrac{3\pi}{4}+2\cdot 1=\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}+2=1+2=3, справа \sin\dfrac{\pi}{2}+2=1+2=3. Всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке \left[2\pi;\ \dfrac{7\pi}{2}\right].

Серия x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n: из 2\pi\le\dfrac{\pi}{2}+\pi n\le\dfrac{7\pi}{2} получаем \dfrac{3}{2}\le n\le 3. Целые n=2 и n=3: корни x=\dfrac{5\pi}{2} и x=\dfrac{7\pi}{2} (правый конец входит).

Серия x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n: из 2\pi\le\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\le\dfrac{7\pi}{2} получаем \dfrac{5}{6}\le n\le\dfrac{19}{12}. Целое одно: n=1, корень x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi=\dfrac{7\pi}{3}.

Серия x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n: из 2\pi\le-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\le\dfrac{7\pi}{2} получаем \dfrac{7}{6}\le n\le\dfrac{23}{12} — целых нет, серия мимо.

Итого по возрастанию: \dfrac{7\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{2}, \dfrac{7\pi}{2} — все внутри отрезка. Всё сходится.