Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022228

а) Раскрываем синус суммы: $\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(\sin x\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\cos x\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sin x+\cos x$, потому что $\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=1$. Красиво: корень $\sqrt{2}$ в условии стоял именно для этого.

Уравнение превращается в $\sin x+\cos x+2\sin^2 x=\sin x+2$. Синусы сокращаются: $\cos x+2\sin^2 x-2=0$.

Замечаем: $2\sin^2 x-2=-2(1-\sin^2 x)=-2\cos^2 x$. Получаем $\cos x-2\cos^2 x=0$ — выносим $\cos x$: $\cos x(1-2\cos x)=0$.

Первый случай: $\cos x=0$, откуда $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Второй: $\cos x=\dfrac{1}{2}$, откуда $x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$ — косинус даёт две симметричные серии.

Проверим $x=\dfrac{\pi}{2}$: слева $\sqrt{2}\sin\dfrac{3\pi}{4}+2\cdot 1=\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}+2=1+2=3$, справа $\sin\dfrac{\pi}{2}+2=1+2=3$. Всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке $\left[2\pi;\ \dfrac{7\pi}{2}\right]$.

Серия $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$: из $2\pi\le\dfrac{\pi}{2}+\pi n\le\dfrac{7\pi}{2}$ получаем $\dfrac{3}{2}\le n\le 3$. Целые $n=2$ и $n=3$: корни $x=\dfrac{5\pi}{2}$ и $x=\dfrac{7\pi}{2}$ (правый конец входит).

Серия $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$: из $2\pi\le\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\le\dfrac{7\pi}{2}$ получаем $\dfrac{5}{6}\le n\le\dfrac{19}{12}$. Целое одно: $n=1$, корень $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi=\dfrac{7\pi}{3}$.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$: из $2\pi\le-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\le\dfrac{7\pi}{2}$ получаем $\dfrac{7}{6}\le n\le\dfrac{23}{12}$ — целых нет, серия мимо.

Итого по возрастанию: $\dfrac{7\pi}{3}$, $\dfrac{5\pi}{2}$, $\dfrac{7\pi}{2}$ — все внутри отрезка. Всё сходится.