Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022227

а) Первым делом раскрываем синус суммы: $\sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin x\cos\dfrac{\pi}{6}+\cos x\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\dfrac{1}{2}\cos x$. Умножаем на два: $2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}\sin x+\cos x$.

Подставляем в уравнение: $\sqrt{3}\sin x+\cos x-2\sqrt{3}\cos^2 x=\cos x-2\sqrt{3}$. Смотри, $\cos x$ слева и справа сокращается — уравнение сразу упрощается: $\sqrt{3}\sin x-2\sqrt{3}\cos^2 x+2\sqrt{3}=0$.

Каждое слагаемое делится на $\sqrt{3}$ — делим: $\sin x-2\cos^2 x+2=0$. Теперь оставляем одну функцию: $\cos^2 x=1-\sin^2 x$, значит $\sin x-2+2\sin^2 x+2=0$, то есть $2\sin^2 x+\sin x=0$.

Выносим $\sin x$: $\sin x(2\sin x+1)=0$.

Первый случай: $\sin x=0$, откуда $x=\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$ — обе точки $0$ и $\pi$ на круге в одной серии.

Второй: $\sin x=-\dfrac{1}{2}$, две серии: $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ и $x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Проверим $x=0$: слева $2\sin\dfrac{\pi}{6}-2\sqrt{3}=1-2\sqrt{3}$, справа $\cos 0-2\sqrt{3}=1-2\sqrt{3}$. Всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке $\left[-\dfrac{5\pi}{2};\ -\pi\right]$.

Серия $x=\pi n$: из $-\dfrac{5\pi}{2}\le\pi n\le-\pi$ получаем $-\dfrac{5}{2}\le n\le-1$. Целые $n=-2$ и $n=-1$: корни $x=-2\pi$ и $x=-\pi$ (правый конец отрезка входит).

Серия $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$: из $-\dfrac{5\pi}{2}\le-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\le-\pi$ получаем $-\dfrac{7}{6}\le n\le-\dfrac{5}{12}$. Целое одно: $n=-1$, корень $x=-\dfrac{\pi}{6}-2\pi=-\dfrac{13\pi}{6}$.

Серия $x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$: из $-\dfrac{5\pi}{2}\le-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n\le-\pi$ получаем $-\dfrac{5}{6}\le n\le-\dfrac{1}{12}$ — целых нет, серия мимо отрезка.

Итого три корня по возрастанию: $-\dfrac{13\pi}{6}$, $-2\pi$, $-\pi$. Все между $-\dfrac{5\pi}{2}$ и $-\pi$ — всё сходится.