а) Первым делом раскрываем синус суммы: \sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin x\cos\dfrac{\pi}{6}+\cos x\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\dfrac{1}{2}\cos x. Умножаем на два: 2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}\sin x+\cos x.

Подставляем в уравнение: \sqrt{3}\sin x+\cos x-2\sqrt{3}\cos^2 x=\cos x-2\sqrt{3}. Смотри, \cos x слева и справа сокращается — уравнение сразу упрощается: \sqrt{3}\sin x-2\sqrt{3}\cos^2 x+2\sqrt{3}=0.

Каждое слагаемое делится на \sqrt{3} — делим: \sin x-2\cos^2 x+2=0. Теперь оставляем одну функцию: \cos^2 x=1-\sin^2 x, значит \sin x-2+2\sin^2 x+2=0, то есть 2\sin^2 x+\sin x=0.

Выносим \sin x: \sin x(2\sin x+1)=0.

Первый случай: \sin x=0, откуда x=\pi n, n\in\mathbb{Z} — обе точки 0 и \pi на круге в одной серии.

Второй: \sin x=-\dfrac{1}{2}, две серии: x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n и x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Проверим x=0: слева 2\sin\dfrac{\pi}{6}-2\sqrt{3}=1-2\sqrt{3}, справа \cos 0-2\sqrt{3}=1-2\sqrt{3}. Всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке \left[-\dfrac{5\pi}{2};\ -\pi\right].

Серия x=\pi n: из -\dfrac{5\pi}{2}\le\pi n\le-\pi получаем -\dfrac{5}{2}\le n\le-1. Целые n=-2 и n=-1: корни x=-2\pi и x=-\pi (правый конец отрезка входит).

Серия x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n: из -\dfrac{5\pi}{2}\le-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\le-\pi получаем -\dfrac{7}{6}\le n\le-\dfrac{5}{12}. Целое одно: n=-1, корень x=-\dfrac{\pi}{6}-2\pi=-\dfrac{13\pi}{6}.

Серия x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n: из -\dfrac{5\pi}{2}\le-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n\le-\pi получаем -\dfrac{5}{6}\le n\le-\dfrac{1}{12} — целых нет, серия мимо отрезка.

Итого три корня по возрастанию: -\dfrac{13\pi}{6}, -2\pi, -\pi. Все между -\dfrac{5\pi}{2} и -\pi — всё сходится.