а) Начинаем с самой известной формулы приведения: \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x. Уравнение сразу хорошеет: 2\cos^2 x+\sin 2x=0. Раскрываем двойной угол \sin 2x=2\sin x\cos x: 2\cos^2 x+2\sin x\cos x=0.

В каждом слагаемом есть 2\cos x — выносим его за скобку: 2\cos x(\cos x+\sin x)=0.

Первый случай: \cos x=0, то есть x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n, n\in\mathbb{Z}. Не выбрасывай эту серию — «сократить на косинус» здесь нельзя!

Второй случай: \sin x+\cos x=0. Косинус тут не ноль (иначе синус тоже был бы нулём — так не бывает), делим на \cos x: \mathrm{tg}\, x=-1, откуда x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Проверим x=-\dfrac{\pi}{4}: 2\sin^2\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)=2\sin^2\dfrac{3\pi}{4}=2\cdot\dfrac{1}{2}=1, а \sin 2x=\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=-1. Сумма 1-1=0 — всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке \left[3\pi;\ \dfrac{9\pi}{2}\right].

Серия x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n: из 3\pi\le\dfrac{\pi}{2}+\pi n\le\dfrac{9\pi}{2} получаем \dfrac{5}{2}\le n\le 4. Целые n=3 и n=4: корни x=\dfrac{7\pi}{2} и x=\dfrac{9\pi}{2} (правый конец отрезка — тоже корень).

Серия x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n: из 3\pi\le-\dfrac{\pi}{4}+\pi n\le\dfrac{9\pi}{2} получаем \dfrac{13}{4}\le n\le\dfrac{19}{4}. Целое одно: n=4, корень x=-\dfrac{\pi}{4}+4\pi=\dfrac{15\pi}{4}.

По порядку: \dfrac{7\pi}{2}, \dfrac{15\pi}{4}, \dfrac{9\pi}{2} — все внутри отрезка. Всё сходится.