Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022226

а) Начинаем с самой известной формулы приведения: $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$. Уравнение сразу хорошеет: $2\cos^2 x+\sin 2x=0$. Раскрываем двойной угол $\sin 2x=2\sin x\cos x$: $2\cos^2 x+2\sin x\cos x=0$.

В каждом слагаемом есть $2\cos x$ — выносим его за скобку: $2\cos x(\cos x+\sin x)=0$.

Первый случай: $\cos x=0$, то есть $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$. Не выбрасывай эту серию — «сократить на косинус» здесь нельзя!

Второй случай: $\sin x+\cos x=0$. Косинус тут не ноль (иначе синус тоже был бы нулём — так не бывает), делим на $\cos x$: $\mathrm{tg}\, x=-1$, откуда $x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Проверим $x=-\dfrac{\pi}{4}$: $2\sin^2\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)=2\sin^2\dfrac{3\pi}{4}=2\cdot\dfrac{1}{2}=1$, а $\sin 2x=\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=-1$. Сумма $1-1=0$ — всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке $\left[3\pi;\ \dfrac{9\pi}{2}\right]$.

Серия $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$: из $3\pi\le\dfrac{\pi}{2}+\pi n\le\dfrac{9\pi}{2}$ получаем $\dfrac{5}{2}\le n\le 4$. Целые $n=3$ и $n=4$: корни $x=\dfrac{7\pi}{2}$ и $x=\dfrac{9\pi}{2}$ (правый конец отрезка — тоже корень).

Серия $x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n$: из $3\pi\le-\dfrac{\pi}{4}+\pi n\le\dfrac{9\pi}{2}$ получаем $\dfrac{13}{4}\le n\le\dfrac{19}{4}$. Целое одно: $n=4$, корень $x=-\dfrac{\pi}{4}+4\pi=\dfrac{15\pi}{4}$.

По порядку: $\dfrac{7\pi}{2}$, $\dfrac{15\pi}{4}$, $\dfrac{9\pi}{2}$ — все внутри отрезка. Всё сходится.