а) Сначала убираем сдвиг в аргументе. По формуле приведения \sin\left(x+\dfrac{3\pi}{2}\right)=-\cos x: сдвиг на три четверти оборота меняет синус на косинус, а знак определяем по четверти. Нам повезло — синус стоит в квадрате, так что минус вообще исчезает: \sin^2\left(x+\dfrac{3\pi}{2}\right)=\cos^2 x.

Раскрываем ещё двойной угол \sin 2x=2\sin x\cos x и получаем: 2\sqrt{3}\cos^2 x+2\sin x\cos x=0.

Это однородная история: в каждом слагаемом сидит \cos x. Выносим общий множитель 2\cos x: 2\cos x\left(\sqrt{3}\cos x+\sin x\right)=0.

Первый случай: \cos x=0, то есть x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n, n\in\mathbb{Z}. Эту серию нельзя терять — частая ошибка просто «сократить» на косинус!

Второй случай: \sin x+\sqrt{3}\cos x=0. Тут уже \cos x\ne 0 (иначе и синус был бы нулём, а вместе они нулями не бывают), поэтому делим на \cos x: \mathrm{tg}\, x=-\sqrt{3}, откуда x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Проверка. При x=\dfrac{\pi}{2}: \cos x=0 и \sin 2x=\sin\pi=0 — оба слагаемых нули. При x=-\dfrac{\pi}{3}: 2\sqrt{3}\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, а \sin\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}, в сумме ноль. Всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке \left[-4\pi;\ -\dfrac{5\pi}{2}\right].

Серия x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n: из -4\pi\le\dfrac{\pi}{2}+\pi n\le-\dfrac{5\pi}{2} получаем -\dfrac{9}{2}\le n\le-3. Целые n=-4 и n=-3: корни x=-\dfrac{7\pi}{2} и x=-\dfrac{5\pi}{2} (правый конец отрезка тоже считается!).

Серия x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n: из -4\pi\le-\dfrac{\pi}{3}+\pi n\le-\dfrac{5\pi}{2} получаем -\dfrac{11}{3}\le n\le-\dfrac{13}{6}. Целое одно: n=-3, корень x=-\dfrac{\pi}{3}-3\pi=-\dfrac{10\pi}{3}.

Расставим по порядку: -\dfrac{7\pi}{2}, затем -\dfrac{10\pi}{3}, затем -\dfrac{5\pi}{2} — все три между -4\pi и -\dfrac{5\pi}{2}. Всё сходится.