Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022225

а) Сначала убираем сдвиг в аргументе. По формуле приведения $\sin\left(x+\dfrac{3\pi}{2}\right)=-\cos x$: сдвиг на три четверти оборота меняет синус на косинус, а знак определяем по четверти. Нам повезло — синус стоит в квадрате, так что минус вообще исчезает: $\sin^2\left(x+\dfrac{3\pi}{2}\right)=\cos^2 x$.

Раскрываем ещё двойной угол $\sin 2x=2\sin x\cos x$ и получаем: $2\sqrt{3}\cos^2 x+2\sin x\cos x=0$.

Это однородная история: в каждом слагаемом сидит $\cos x$. Выносим общий множитель $2\cos x$: $2\cos x\left(\sqrt{3}\cos x+\sin x\right)=0$.

Первый случай: $\cos x=0$, то есть $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$. Эту серию нельзя терять — частая ошибка просто «сократить» на косинус!

Второй случай: $\sin x+\sqrt{3}\cos x=0$. Тут уже $\cos x\ne 0$ (иначе и синус был бы нулём, а вместе они нулями не бывают), поэтому делим на $\cos x$: $\mathrm{tg}\, x=-\sqrt{3}$, откуда $x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Проверка. При $x=\dfrac{\pi}{2}$: $\cos x=0$ и $\sin 2x=\sin\pi=0$ — оба слагаемых нули. При $x=-\dfrac{\pi}{3}$: $2\sqrt{3}\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, а $\sin\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, в сумме ноль. Всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке $\left[-4\pi;\ -\dfrac{5\pi}{2}\right]$.

Серия $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$: из $-4\pi\le\dfrac{\pi}{2}+\pi n\le-\dfrac{5\pi}{2}$ получаем $-\dfrac{9}{2}\le n\le-3$. Целые $n=-4$ и $n=-3$: корни $x=-\dfrac{7\pi}{2}$ и $x=-\dfrac{5\pi}{2}$ (правый конец отрезка тоже считается!).

Серия $x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n$: из $-4\pi\le-\dfrac{\pi}{3}+\pi n\le-\dfrac{5\pi}{2}$ получаем $-\dfrac{11}{3}\le n\le-\dfrac{13}{6}$. Целое одно: $n=-3$, корень $x=-\dfrac{\pi}{3}-3\pi=-\dfrac{10\pi}{3}$.

Расставим по порядку: $-\dfrac{7\pi}{2}$, затем $-\dfrac{10\pi}{3}$, затем $-\dfrac{5\pi}{2}$ — все три между $-4\pi$ и $-\dfrac{5\pi}{2}$. Всё сходится.