а) В уравнении намешано всё сразу: \sin(2\pi-x), двойной угол и три разных корня — \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}. Первый шаг всегда один: сводим всё к синусам и косинусам одного аргумента. По формуле приведения \sin(2\pi-x)=-\sin x: полный оборот 2\pi ничего не меняет, а знак минус появляется, потому что синус — нечётная функция. И раскрываем двойной угол: \sin 2x=2\sin x\cos x.

Переносим всё влево: 2\sin^2 x-\sqrt{2}\sin x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-\sqrt{6}\cos x=0.

Теперь ключевой ход — группировка. Подсказка спрятана в числах: \sqrt{6}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}, значит слагаемые должны разбиться на пары с общей скобкой. Из первого и третьего выносим 2\sin x, из второго и четвёртого выносим -\sqrt{2}: 2\sin x(\sin x+\sqrt{3}\cos x)-\sqrt{2}(\sin x+\sqrt{3}\cos x)=0. Общая скобка нашлась: (\sin x+\sqrt{3}\cos x)(2\sin x-\sqrt{2})=0.

Произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель — разбираем два случая.

Первый: \sin x+\sqrt{3}\cos x=0. Здесь \cos x\ne 0: если бы косинус был нулём, то из уравнения и синус был бы нулём, а вместе они в ноль не обращаются (\sin^2 x+\cos^2 x=1). Значит смело делим на \cos x: \mathrm{tg}\, x=-\sqrt{3}, откуда x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Второй: 2\sin x-\sqrt{2}=0, то есть \sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Табличное значение, две серии: x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n и x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Проверим, например, x=\dfrac{\pi}{4}: слева 2\cdot\dfrac{1}{2}+\sqrt{2}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)+\sqrt{3}\cdot 1=1-1+\sqrt{3}=\sqrt{3}, справа \sqrt{6}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{12}}{2}=\sqrt{3}. Всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке \left[-\pi;\ \dfrac{\pi}{2}\right] — для каждой серии решаем двойное неравенство и ищем целые n.

Серия x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n: из -\pi\le-\dfrac{\pi}{3}+\pi n\le\dfrac{\pi}{2} делим всё на \pi и получаем -\dfrac{2}{3}\le n\le\dfrac{5}{6}. Целое одно: n=0, корень x=-\dfrac{\pi}{3}.

Серия x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n: -\pi\le\dfrac{\pi}{4}+2\pi n\le\dfrac{\pi}{2} даёт -\dfrac{5}{8}\le n\le\dfrac{1}{8}. Подходит n=0: корень x=\dfrac{\pi}{4}.

Серия x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n: -\pi\le\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n\le\dfrac{\pi}{2} даёт -\dfrac{7}{8}\le n\le-\dfrac{1}{8} — целых n тут нет, из этой серии на отрезок никто не попал.

Итого на отрезке два корня: -\dfrac{\pi}{3} и \dfrac{\pi}{4}. Оба честно лежат между -\pi и \dfrac{\pi}{2} — всё сходится.