ID: 00022224
Источник: ФИПИ
а) В уравнении намешано всё сразу: $\sin(2\pi-x)$, двойной угол и три разных корня — $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{6}$. Первый шаг всегда один: сводим всё к синусам и косинусам одного аргумента. По формуле приведения $\sin(2\pi-x)=-\sin x$: полный оборот $2\pi$ ничего не меняет, а знак минус появляется, потому что синус — нечётная функция. И раскрываем двойной угол: $\sin 2x=2\sin x\cos x$.
Переносим всё влево: $2\sin^2 x-\sqrt{2}\sin x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-\sqrt{6}\cos x=0$.
Теперь ключевой ход — группировка. Подсказка спрятана в числах: $\sqrt{6}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}$, значит слагаемые должны разбиться на пары с общей скобкой. Из первого и третьего выносим $2\sin x$, из второго и четвёртого выносим $-\sqrt{2}$: $2\sin x(\sin x+\sqrt{3}\cos x)-\sqrt{2}(\sin x+\sqrt{3}\cos x)=0$. Общая скобка нашлась: $(\sin x+\sqrt{3}\cos x)(2\sin x-\sqrt{2})=0$.
Произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель — разбираем два случая.
Первый: $\sin x+\sqrt{3}\cos x=0$. Здесь $\cos x\ne 0$: если бы косинус был нулём, то из уравнения и синус был бы нулём, а вместе они в ноль не обращаются ($\sin^2 x+\cos^2 x=1$). Значит смело делим на $\cos x$: $\mathrm{tg}\, x=-\sqrt{3}$, откуда $x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.
Второй: $2\sin x-\sqrt{2}=0$, то есть $\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Табличное значение, две серии: $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ и $x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.
Проверим, например, $x=\dfrac{\pi}{4}$: слева $2\cdot\dfrac{1}{2}+\sqrt{2}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)+\sqrt{3}\cdot 1=1-1+\sqrt{3}=\sqrt{3}$, справа $\sqrt{6}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{12}}{2}=\sqrt{3}$. Всё сходится.
б) Отбираем корни на отрезке $\left[-\pi;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ — для каждой серии решаем двойное неравенство и ищем целые $n$.
Серия $x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n$: из $-\pi\le-\dfrac{\pi}{3}+\pi n\le\dfrac{\pi}{2}$ делим всё на $\pi$ и получаем $-\dfrac{2}{3}\le n\le\dfrac{5}{6}$. Целое одно: $n=0$, корень $x=-\dfrac{\pi}{3}$.
Серия $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$: $-\pi\le\dfrac{\pi}{4}+2\pi n\le\dfrac{\pi}{2}$ даёт $-\dfrac{5}{8}\le n\le\dfrac{1}{8}$. Подходит $n=0$: корень $x=\dfrac{\pi}{4}$.
Серия $x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$: $-\pi\le\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n\le\dfrac{\pi}{2}$ даёт $-\dfrac{7}{8}\le n\le-\dfrac{1}{8}$ — целых $n$ тут нет, из этой серии на отрезок никто не попал.
Итого на отрезке два корня: $-\dfrac{\pi}{3}$ и $\dfrac{\pi}{4}$. Оба честно лежат между $-\pi$ и $\dfrac{\pi}{2}$ — всё сходится.