Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022223

а) Перенесём $\sqrt{2}$ влево и соберём пару: $\sqrt{2}\cos^2 x-\sqrt{2}=-\sqrt{2}\,(1-\cos^2 x)=-\sqrt{2}\sin^2 x$ — основное тригонометрическое тождество в деле.

Уравнение принимает вид $2\sin^2 x\cos x-\sqrt{2}\sin^2 x=0$. Выносим $\sin^2 x$: $\sin^2 x\,(2\cos x-\sqrt{2})=0$.

Первый случай: $\sin x=0$, то есть $x=\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Второй случай: $\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, откуда $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k$ и $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Проверим $x=\dfrac{\pi}{4}$: слева $2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$ — ровно правая часть, всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке $\left[-\dfrac{7\pi}{2};\ -2\pi\right]$. В четвертях: $-\dfrac{7\pi}{2}=-\dfrac{14\pi}{4}$, $-2\pi=-\dfrac{8\pi}{4}$.

Серия $x=\pi k$: подходят $-3\pi=-\dfrac{12\pi}{4}$ и $-2\pi=-\dfrac{8\pi}{4}$ — правый конец включён. Кандидат $-4\pi=-\dfrac{16\pi}{4}$ вылетает влево.

Серия $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k$: при $k=-1$ получаем $-\dfrac{7\pi}{4}$ — правее $-\dfrac{8\pi}{4}$, мимо; при $k=-2$ будет $-\dfrac{15\pi}{4}$ — левее $-\dfrac{14\pi}{4}$, тоже мимо. Пусто.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k$: при $k=-1$ получаем $-\dfrac{9\pi}{4}$, и $-\dfrac{14\pi}{4}\leqslant-\dfrac{9\pi}{4}\leqslant-\dfrac{8\pi}{4}$ — подходит. При $k=-2$ будет $-\dfrac{17\pi}{4}$ — вылет.

Итого три корня: $-3\pi$, $-\dfrac{9\pi}{4}$, $-2\pi$. Проверка для $-\dfrac{9\pi}{4}$: плюс оборот $2\pi$ — это $-\dfrac{\pi}{4}$, где $\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ — корень честный. Всё сходится.