а) Перенесём \sqrt{2} влево и соберём пару: \sqrt{2}\cos^2 x-\sqrt{2}=-\sqrt{2}\,(1-\cos^2 x)=-\sqrt{2}\sin^2 x — основное тригонометрическое тождество в деле.

Уравнение принимает вид 2\sin^2 x\cos x-\sqrt{2}\sin^2 x=0. Выносим \sin^2 x: \sin^2 x\,(2\cos x-\sqrt{2})=0.

Первый случай: \sin x=0, то есть x=\pi k, k\in\mathbb{Z}.

Второй случай: \cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, откуда x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k и x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k, k\in\mathbb{Z}.

Проверим x=\dfrac{\pi}{4}: слева 2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2} — ровно правая часть, всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке \left[-\dfrac{7\pi}{2};\ -2\pi\right]. В четвертях: -\dfrac{7\pi}{2}=-\dfrac{14\pi}{4}, -2\pi=-\dfrac{8\pi}{4}.

Серия x=\pi k: подходят -3\pi=-\dfrac{12\pi}{4} и -2\pi=-\dfrac{8\pi}{4} — правый конец включён. Кандидат -4\pi=-\dfrac{16\pi}{4} вылетает влево.

Серия x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k: при k=-1 получаем -\dfrac{7\pi}{4} — правее -\dfrac{8\pi}{4}, мимо; при k=-2 будет -\dfrac{15\pi}{4} — левее -\dfrac{14\pi}{4}, тоже мимо. Пусто.

Серия x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k: при k=-1 получаем -\dfrac{9\pi}{4}, и -\dfrac{14\pi}{4}\leqslant-\dfrac{9\pi}{4}\leqslant-\dfrac{8\pi}{4} — подходит. При k=-2 будет -\dfrac{17\pi}{4} — вылет.

Итого три корня: -3\pi, -\dfrac{9\pi}{4}, -2\pi. Проверка для -\dfrac{9\pi}{4}: плюс оборот 2\pi — это -\dfrac{\pi}{4}, где \cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} — корень честный. Всё сходится.