Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022222

а) Перенесём $\sqrt{3}\sin^2 x$ влево и посмотрим на пару $\sqrt{3}-\sqrt{3}\sin^2 x=\sqrt{3}\,(1-\sin^2 x)=\sqrt{3}\cos^2 x$ — сработало основное тригонометрическое тождество.

Уравнение превращается в $2\sin x\cos^2 x+\sqrt{3}\cos^2 x=0$. Выносим $\cos^2 x$: $\cos^2 x\,(2\sin x+\sqrt{3})=0$.

Первый случай: $\cos x=0$, то есть $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Второй случай: $\sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, откуда $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$ и $x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Проверим $x=\dfrac{\pi}{2}$: слева $2\cdot 1\cdot 0+\sqrt{3}=\sqrt{3}$, справа $\sqrt{3}\cdot 1=\sqrt{3}$ — всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке $\left[\dfrac{7\pi}{2};\ 5\pi\right]$. В шестых долях: $\dfrac{7\pi}{2}=\dfrac{21\pi}{6}$, $5\pi=\dfrac{30\pi}{6}$.

Серия $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$: подходят $\dfrac{7\pi}{2}=\dfrac{21\pi}{6}$ — левый конец включён — и $\dfrac{9\pi}{2}=\dfrac{27\pi}{6}$. Следующий кандидат $\dfrac{11\pi}{2}=\dfrac{33\pi}{6}$ — перелёт.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$: при $k=2$ получаем $\dfrac{11\pi}{3}=\dfrac{22\pi}{6}$, и $\dfrac{21\pi}{6}\leqslant\dfrac{22\pi}{6}\leqslant\dfrac{30\pi}{6}$ — подходит. При $k=3$ будет $\dfrac{17\pi}{3}=\dfrac{34\pi}{6}$ — мимо.

Серия $x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k$: при $k=2$ получаем $\dfrac{10\pi}{3}=\dfrac{20\pi}{6}$ — чуть-чуть не долетает до $\dfrac{21\pi}{6}$; при $k=3$ будет $\dfrac{16\pi}{3}=\dfrac{32\pi}{6}$ — перелёт. Пусто.

Итого три корня: $\dfrac{7\pi}{2}$, $\dfrac{11\pi}{3}$, $\dfrac{9\pi}{2}$. Проверка для $\dfrac{11\pi}{3}$: минус оборот $2\pi$ — это $\dfrac{5\pi}{3}$, та же точка круга, что и $-\dfrac{\pi}{3}$, где $\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ — корень честный. Всё сходится.