а) Перенесём \sqrt{3}\sin^2 x влево и посмотрим на пару \sqrt{3}-\sqrt{3}\sin^2 x=\sqrt{3}\,(1-\sin^2 x)=\sqrt{3}\cos^2 x — сработало основное тригонометрическое тождество.

Уравнение превращается в 2\sin x\cos^2 x+\sqrt{3}\cos^2 x=0. Выносим \cos^2 x: \cos^2 x\,(2\sin x+\sqrt{3})=0.

Первый случай: \cos x=0, то есть x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k, k\in\mathbb{Z}.

Второй случай: \sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}, откуда x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k и x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k, k\in\mathbb{Z}.

Проверим x=\dfrac{\pi}{2}: слева 2\cdot 1\cdot 0+\sqrt{3}=\sqrt{3}, справа \sqrt{3}\cdot 1=\sqrt{3} — всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке \left[\dfrac{7\pi}{2};\ 5\pi\right]. В шестых долях: \dfrac{7\pi}{2}=\dfrac{21\pi}{6}, 5\pi=\dfrac{30\pi}{6}.

Серия x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k: подходят \dfrac{7\pi}{2}=\dfrac{21\pi}{6} — левый конец включён — и \dfrac{9\pi}{2}=\dfrac{27\pi}{6}. Следующий кандидат \dfrac{11\pi}{2}=\dfrac{33\pi}{6} — перелёт.

Серия x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k: при k=2 получаем \dfrac{11\pi}{3}=\dfrac{22\pi}{6}, и \dfrac{21\pi}{6}\leqslant\dfrac{22\pi}{6}\leqslant\dfrac{30\pi}{6} — подходит. При k=3 будет \dfrac{17\pi}{3}=\dfrac{34\pi}{6} — мимо.

Серия x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k: при k=2 получаем \dfrac{10\pi}{3}=\dfrac{20\pi}{6} — чуть-чуть не долетает до \dfrac{21\pi}{6}; при k=3 будет \dfrac{16\pi}{3}=\dfrac{32\pi}{6} — перелёт. Пусто.

Итого три корня: \dfrac{7\pi}{2}, \dfrac{11\pi}{3}, \dfrac{9\pi}{2}. Проверка для \dfrac{11\pi}{3}: минус оборот 2\pi — это \dfrac{5\pi}{3}, та же точка круга, что и -\dfrac{\pi}{3}, где \sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} — корень честный. Всё сходится.