Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022221

а) Сгруппируем синусы: $\sin x\,(\cos 2x+1)+\sqrt{2}\cos^2 x=0$. И тут выстреливает формула понижения степени: $\cos 2x+1=2\cos^2 x$.

Подставляем: $2\sin x\cos^2 x+\sqrt{2}\cos^2 x=0$. Выносим $\cos^2 x$: $\cos^2 x\,(2\sin x+\sqrt{2})=0$.

Первый случай: $\cos x=0$, то есть $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Второй случай: $\sin x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, откуда $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k$ и $x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Проверим $x=\dfrac{\pi}{2}$: $\sin\dfrac{\pi}{2}\cdot\cos\pi+\sqrt{2}\cdot 0+\sin\dfrac{\pi}{2}=1\cdot(-1)+0+1=0$ — всё сходится.

б) Отбираем корни на отрезке $\left[\dfrac{3\pi}{2};\ 3\pi\right]$. В четвертях: $\dfrac{3\pi}{2}=\dfrac{6\pi}{4}$, $3\pi=\dfrac{12\pi}{4}$.

Серия $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$: подходят $\dfrac{3\pi}{2}=\dfrac{6\pi}{4}$ — левый конец включён — и $\dfrac{5\pi}{2}=\dfrac{10\pi}{4}$. Следующий кандидат $\dfrac{7\pi}{2}=\dfrac{14\pi}{4}$ — перелёт.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k$: при $k=1$ получаем $\dfrac{7\pi}{4}$, и $\dfrac{6\pi}{4}\leqslant\dfrac{7\pi}{4}\leqslant\dfrac{12\pi}{4}$ — подходит. При $k=2$ будет $\dfrac{15\pi}{4}$ — мимо.

Серия $x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k$: при $k=1$ получаем $\dfrac{5\pi}{4}$ — не долетает до $\dfrac{6\pi}{4}$; при $k=2$ будет $\dfrac{13\pi}{4}$ — уже больше $\dfrac{12\pi}{4}$. Пусто.

Итого три корня: $\dfrac{3\pi}{2}$, $\dfrac{7\pi}{4}$, $\dfrac{5\pi}{2}$. Проверка для $\dfrac{7\pi}{4}$: это $-\dfrac{\pi}{4}$ плюс оборот, $\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ — корень честный. Всё сходится.